Question

[Toán Đỗ Duy]

Bài 1 :Trong mặt phẳng Oxy cho ΔABC có điểm H(0;4) ; I(-2;-4) ; K(0;2) lần lượt là trực tâm , tâm đường tròn ngoại tiếp , chân đường cao hạ từ A . tìm tung độ lớn nhất của 3 điểm A,B,C

Bài 2 :trong mặt phẳng Oxy cho ΔABC có trực tâm H(-1;2) .gọi D,E,F lần lượt là chân đường cao hạ từ A,B,C của Δ ABC và O(0,0) là trung điểm của BC .Đường thẳng chứa BC : x+2y=0: EF : 2x-3y+14=0.tọa độ điểm A(a,b). tính P=7a+b

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Bài 1.

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow IM\perp BC\)

Trên IA, lấy D đối xứng A qua I \(\Rightarrow AD\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ta có \(BH\perp AC\) (H là trực tâm) và \(CD\perp AC\) (\(\widehat{ACD}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow BH//CD\)

Lại có \(CH\perp AB\) (H là trực tâm) và \(BD\perp AB\) (\(\widehat{ABD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow CH//BD\)

\(\Rightarrow BHCD\) là hbh (2 cặp cạnh đối song song), mà M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\) là trung điểm HD

Trong tam giác AHD có M là trung điểm HD, I là trung điểm AD \(\Rightarrow IM\) là đường trung bình \(\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AH}\)

\(\overrightarrow{KH}=\left(0;2\right)\Rightarrow\) đường thẳng KH nhận \(\overrightarrow{n_{KH}}=\left(1;0\right)\) là 1 vtpt

\(\Rightarrow\) pt KH (hay AH) là: \(1\left(x-0\right)+0\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow x=0\)

\(BC\perp KH\Rightarrow\overrightarrow{n_{BC}}.\overrightarrow{n_{KH}}=0\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận \(\overrightarrow{n_{BC}}=\left(0;1\right)\) là 1 vtpt

\(\Rightarrow\) Pt BC: \(0\left(x-0\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow y-2=0\)

Do \(IM\perp BC\Rightarrow\)đường thẳng IM có 1 vtpt là \(\overrightarrow{n_{IM}}=\left(1;0\right)\)

\(\Rightarrow\) pt IM: \(1\left(x+2\right)+0\left(y+4\right)=0\Leftrightarrow x+2=0\)

M là giao điểm IM và BC \(\Rightarrow\) tọa độ M là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(-2;2\right)\)

Theo cmt, do \(\overrightarrow{IM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AH}\Rightarrow\left(0;6\right)=\frac{1}{2}\left(-x_A;4-y_A\right)\Rightarrow A\left(0;-8\right)\)

Do B thuộc \(y-2=0\Rightarrow B\left(a;2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_M-x_B=-4-a\\y_C=2y_M-y_B=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(-4-a;2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BH}=\left(-a;2\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(-4-a;10\right)\end{matrix}\right.\)

\(BH\perp AC\Rightarrow\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\Rightarrow-a\left(-4-a\right)+20=0\)

\(\Rightarrow a^2+4a+20=0\) (vô nghiệm) \(\Rightarrow\) không tồn tại B, C thỏa mãn

Bạn xem lại đề bài, có vẻ đề cho nhầm số liệu

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Trước hết, ta đã biết nếu 2 đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, thì \(OO'\perp AB\) (1)

\(\overrightarrow{n_{BC}}=\left(1;2\right)\), do \(AH\perp BC\Rightarrow AH\) có 1 vtpt \(\overrightarrow{n_{AH}}=\left(2;-1\right)\)

\(\Rightarrow\) Phương trình AH: \(2\left(x+1\right)-1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow2x-y+4=0\)

Gọi I là trung điểm AH \(\Rightarrow I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AEHF\) (E và F đều nhìn AH dưới 1 góc vuông)

Lại có O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BCEF\) (E và F đều nhìn BC dưới một góc vuông)

Mà (O) và (I) cắt nhau tại E và F \(\Rightarrow OI\perp EF\) (theo (1))

Mà \(\overrightarrow{n_{EF}}=\left(2;-3\right)\Rightarrow\) đường thẳng OI có 1 vtpt là \(\overrightarrow{n_{OI}}=\left(3;2\right)\)

\(\Rightarrow\) pt đường thẳng OI: \(3\left(x-0\right)+2\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow3x+2y=0\)

Do I là giao điểm của AH và OI \(\Rightarrow\) tọa độ I là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=0\\2x-y+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(\frac{-8}{7};\frac{12}{7}\right)\)

Do I là trung điểm AH

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=2x_I-x_H=\frac{-9}{7}\\y_A=2y_I-y_H=\frac{10}{7}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(\frac{-9}{7};\frac{10}{7}\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{-9}{7}\\b=\frac{10}{7}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow7a+b=\frac{-53}{7}\)