Question

[Sawada Tsunayoshi]

Cho \(\Delta\)ABC nội tiếp đường tròn (O), tia phân giác \(\widehat{A}\)cắt BC ở D và đường tròn tại M

a) C/m: OM\(\perp\)BC

b) Phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của \(\Delta\)ABC cắt (O) ở N. C/m; M,N,O thẳng hàng

c) Gọi K là giao điểm của NA và BC, I là trung điểm của KD. C/m: IA là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

a) AM là đường phân giác \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)\(\Rightarrow\widebat{BM}=\widebat{CM}\)

=> M là điểm chính giữa cung BC

=> OM _|_ BC (đpcm)

b) AN là phân giác \(\widehat{CAt}\)

=> \(\widehat{tAN}=\widehat{NAC}\)mà \(\widehat{tAN}=\widehat{NCB}\)(Tứ giác ANCB nội tiếp)

                                    và \(\widehat{NAC}=\widehat{NMC}\)(tứ gics ANCB nội tiếp)

=> \(\widehat{NCB}=\widehat{NMC}\)

Xét tam giác NCD và tam giác NMC có:

\(\widehat{MNC}\)chung

\(\widehat{NCB}=\widehat{NMC}\left(cmt\right)\)

=> Tam giác NCD đồng dạng với tam giác NMC (g.g)

=> \(\widehat{NCM}=\widehat{NDC}\)mà \(\widehat{NDC}=90^o\)và \(\widehat{NCM}=90^o\)

=> NC _|_ CM

Xét tam giác NCM nội tiếp có NC _|_ CM

=> NM là đường kính

=> N,O,M thẳng hàng

c) Tam giác MAN nội tiếp đường kín MN

=> AM _|_ AN => Tam giác KAD vuông tại A

Xét tam giác KAD vuông tại A có AI là đường trung bình

=> AI=ID

=> Tam giác AID cân tại A

=> \(\widehat{IAD}=\widehat{IDA}\)(tính chất tam giác cân) hay \(\widehat{IAB}+\widehat{BAD}=\widehat{IDA}\)

Lại có \(\widehat{DAC}+\widehat{DCA}=\widehat{IDA}\)(tính chất góc ngoài)

\(\Rightarrow\widehat{IAB}+\widehat{BAD}=\widehat{DAC}+\widehat{DCA}\)

mà \(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)(AD là phân giác) => \(\widehat{IAB}=\widehat{DCA}\)

mà 2 góc này nằm ở vị trí góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

=> IA là tiếp tuyến của (O)