Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AD,BE và CF. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CF}.\overrightarrow{AB}=0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 10 2019
a.\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\)
VT:\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\)
=\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}\)
=\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=0\left(đpcm\right)\)
b.\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CB}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\left(LĐ\right)\)
BT
15 tháng 5 2017
a) Ta có:
\(\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)\(=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\).
Vậy A là trung điểm của B'C'.
b)
Theo câu a ta chứng minh được A là trung điểm của B'C'.
Tương tự ta chứng minh được: B là trung điểm của A'C'; C là trung điểm của A'B'.
Từ đó suy ra ba đường thẳng AB', BB', CC' là ba đường trung tuyến của tam giác A'B'C' nên ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy.
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
24 tháng 9 2023
\(\begin{array}{l}A{B^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} = {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} \\ = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} ) = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} ) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow 0 = 0.\end{array}\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
24 tháng 9 2023
a) \( AH \bot BC\) và \(BH \bot CA\)
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 0\) . Do đó \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \)
Tương tự suy ra \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \).
b) Gọi H có tọa độ (x; y)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = (x - ( - 1);y - 2) = (x + 1;y - 2)\\\overrightarrow {BH} = (x - 8;y - ( - 1)) = (x - 8;y + 1)\end{array} \right.\)
Ta có: \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {BC} = (8 - 8;8 - ( - 1)) = (0;9)\)
\((x + 1).0 + (y - 2).9 = 0 \Leftrightarrow 9.(y - 2) = 0 \Leftrightarrow y = 2.\)
Lại có: \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {CA} = ( - 1 - 8;2 - 8) = ( - 9; - 6)\)
\(\begin{array}{l}(x - 8).( - 9) + (y + 1).( - 6) = 0\\ \Leftrightarrow - 9x + 72 + 3.( - 6) = 0\\ \Leftrightarrow - 9x + 54 = 0\\ \Leftrightarrow x = 6.\end{array}\)
Vậy H có tọa độ (6; 2)
c) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (8 - ( - 1); - 1 - 2) = (9; - 3)\)\( \Rightarrow AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{9^2} + {{( - 3)}^2}} = 3\sqrt {10} \)
Và \(\overrightarrow {BC} = (0;9) \Rightarrow BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{0^2} + {9^2}} = 9\);
\(\overrightarrow {CA} = ( - 9; - 6)\)\( \Rightarrow AC = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{{( - 9)}^2} + {{( - 6)}^2}} = 3\sqrt {13} .\)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:
\(\cos \widehat A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {3\sqrt {13} } \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt {10} } \right)}^2} - {{\left( 9 \right)}^2}}}{{2.3\sqrt {13} .3\sqrt {10} }} \approx 0,614\)\( \Rightarrow \widehat A \approx 52,{125^o}\)
\(\cos \widehat B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{\left( 9 \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt {10} } \right)}^2} - {{\left( {3\sqrt {13} } \right)}^2}}}{{2.9.3\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)\( \Rightarrow \widehat B \approx 71,{565^o}\)
\( \Rightarrow \widehat C \approx 56,{31^o}\)
Vậy tam giác ABC có: \(a = 9;b = 3\sqrt {13} ;c = 3\sqrt {10} \); \(\widehat A \approx 52,{125^o};\widehat B \approx 71,{565^o};\widehat C \approx 56,{31^o}.\)