Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có vẻ không đúng.
Giả sử \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MB}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow M\equiv B\) (Vô lí)
Có \(\overrightarrow{MH}=-\overrightarrow{HM}=\dfrac{-1}{2}\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right)\);
\(\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{AM}=\dfrac{-1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\).
Vì vậy:
\(\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\dfrac{-1}{2}\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right).\dfrac{-1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AB}\right)\) (Do H là trực tâm tam giác ABC).
\(=\dfrac{1}{4}\left[\overrightarrow{CH}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{BH}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\right]\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BC}\right)\) ( do H là trực tâm tam giác ABC).
\(=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\left(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{4}BC^2\).
\(\begin{array}{l}A{B^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} = {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} \\ = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} ) = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} ) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow 0 = 0.\end{array}\)
Ta đã biết nếu G' là trọng tâm tam giác ABC thì:
\(\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}\).
Gỉa sử có điểm G thỏa mãn: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Ta sẽ chứng minh \(G\equiv G'\).
Thật vậy:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\).
Vậy \(G\equiv G'\).
a) \( AH \bot BC\) và \(BH \bot CA\)
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 0\) . Do đó \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \)
Tương tự suy ra \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \).
b) Gọi H có tọa độ (x; y)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = (x - ( - 1);y - 2) = (x + 1;y - 2)\\\overrightarrow {BH} = (x - 8;y - ( - 1)) = (x - 8;y + 1)\end{array} \right.\)
Ta có: \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {BC} = (8 - 8;8 - ( - 1)) = (0;9)\)
\((x + 1).0 + (y - 2).9 = 0 \Leftrightarrow 9.(y - 2) = 0 \Leftrightarrow y = 2.\)
Lại có: \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {CA} = ( - 1 - 8;2 - 8) = ( - 9; - 6)\)
\(\begin{array}{l}(x - 8).( - 9) + (y + 1).( - 6) = 0\\ \Leftrightarrow - 9x + 72 + 3.( - 6) = 0\\ \Leftrightarrow - 9x + 54 = 0\\ \Leftrightarrow x = 6.\end{array}\)
Vậy H có tọa độ (6; 2)
c) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (8 - ( - 1); - 1 - 2) = (9; - 3)\)\( \Rightarrow AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{9^2} + {{( - 3)}^2}} = 3\sqrt {10} \)
Và \(\overrightarrow {BC} = (0;9) \Rightarrow BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{0^2} + {9^2}} = 9\);
\(\overrightarrow {CA} = ( - 9; - 6)\)\( \Rightarrow AC = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{{( - 9)}^2} + {{( - 6)}^2}} = 3\sqrt {13} .\)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:
\(\cos \widehat A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {3\sqrt {13} } \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt {10} } \right)}^2} - {{\left( 9 \right)}^2}}}{{2.3\sqrt {13} .3\sqrt {10} }} \approx 0,614\)\( \Rightarrow \widehat A \approx 52,{125^o}\)
\(\cos \widehat B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{\left( 9 \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt {10} } \right)}^2} - {{\left( {3\sqrt {13} } \right)}^2}}}{{2.9.3\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)\( \Rightarrow \widehat B \approx 71,{565^o}\)
\( \Rightarrow \widehat C \approx 56,{31^o}\)
Vậy tam giác ABC có: \(a = 9;b = 3\sqrt {13} ;c = 3\sqrt {10} \); \(\widehat A \approx 52,{125^o};\widehat B \approx 71,{565^o};\widehat C \approx 56,{31^o}.\)