Chứng minh phương trình: (n+2)x^2+2x-n(n+1)(n+3)=0 luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số nguyên n.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(2\left(x^2+2\right)=5\sqrt{x^3+1}\left(1\right)\)
\(\text{ĐKXĐ}:x^3+1\ge0\Leftrightarrow x\ge-1\)
(*) <=> 4(x2 + 2)2 = 25( x3 + 1 )
<=> 4( x4 + 4x2 + 4 ) = 25(x3 + 1)
<=> 4x4 + 16x2 + 16 = 25x3 + 25
<=> 4x4 - 25x3 + 16x2 - 9 = 0
<=> 4x4 - 5x3 - 20x3 + 3x2 + 25x2 - 12x2 + 15x - 15x - 9 = 0
<=> 4x4 - 5x3 + 3x2 - 20x3 + 25x2 - 15x - 12x2 + 15x - 9 = 0
<=> x2( 4x2 - 5x + 3 ) - 5x( 4x2 - 5x + 3 ) - 3(4x2 - 5x + 3 ) = 0
<=> ( x2 - 5x - 3)( 4x2 - 5x + 3 ) = 0
tới đây delta hoặc vi-ét thì tùy
\(\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{37}}{2}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}\)
\(\Delta=m^2+12>0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) Khi \(n=0\) thì pt có nghiệm với mọi m
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=n-3\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1^2-x_2^2=7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)=7\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=4\\x_2=3\end{matrix}\right.\)
Thế vào hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}4+3=-m\\4.3=n-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-7\\n=15\end{matrix}\right.\)
\(\Delta=\left(n-2\right)^2+12>0\) ; \(\forall n\Rightarrow\) pt đã cho luôn có 2 nghiệm pb trái dấu với mọi n
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=n-2\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)
\(\sqrt{x_1^2+2018}-x_2=\sqrt{x_2^2+2018}+x_1\)
\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2-2x_2\sqrt{x_1^2+2018}=x_1^2+x_2^2+2018+2x_1\sqrt{x_2^2+2018}\)
\(\Rightarrow-x_2\sqrt{x_1^2+2018}=x_1\sqrt{x_2^2+2018}\)
\(\Rightarrow x_2^2\left(x_1^2+2018\right)=x_1^2\left(x_2^2+2018\right)\)
\(\Rightarrow x_1^2=x_2^2\Rightarrow x_1=-x_2\) (do \(x_1;x_2\) trái dấu)
\(\Rightarrow x_1+x_2=0\Rightarrow n-2=0\Rightarrow n=2\)
Thử lại với \(n=2\) thấy đúng. Vậy...
Đặt \(f\left(x\right)=x^n+\left(m+1\right)x-1\)
Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^n-\left(m+1\right)x-1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^n\left(1-\dfrac{m+1}{x^{n-1}}-\dfrac{1}{x^n}\right)=-\infty< 0\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại một số thực \(a< 0\) sao cho \(f\left(a\right)< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^n\left(1-\dfrac{m+1}{x^{n-1}}-\dfrac{1}{x^n}\right)=+\infty>0\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại một số thực \(b>0\) sao cho \(f\left(b\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm trên (a;b) hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm