Question

[Nguyễn Ngô Mai Trang]

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia CA đặt điểm M sao cho CM = CA. Trên tia đối của tia CB đặt điểm E sao cho CE = CB.

a)Chứng minh tứ giác ABME là hình bình hành

b)Chứng minh D MEC cân

c)Điểm N là đối xứng của điểm A qua Chứng minh tứ giác BCMN là hình thang cân

d)Hai đường thẳng NC và AE cắt nhau tại F. Chứng minh D MNF vuông

Answer 1

[Nguyễn Ngô Minh Trí]

a)xét ΔACB và ΔMCE,ta có:

AC = CM(gt)

EC = CB(gt)

^ECM = ^ BCA(2 góc đối đỉnh)

=> ΔABC = ΔMCE(c.g.c)

nên EM=AB(2 cạnh tương ứng) (1)

^CEM=^CBA(2 góc tương ứng)

nên : EM//AB ( 2 góc này ở vị trí so le trong) (2)

xét tứ giác ABME , ta có :

EM//AB (cmt)

EM=AB (cmt)

=> tứ giác ABME là hình bình hành

cách 2 :

tứ giác ABME, ta có :

BE cắt AM tại C

CA = CM (gt)

CE = CB (gt)

suy ra : tứ giác ABME là hình bình hành.

b)xét Δ MEC,ta có:

AB=ME (cmt)

AB=AC (Δ ABC cân tại A)

AC=MC (gt)

suy ra : MC=ME

nên : Δ MEC cân tại M.

c)Ta có EM=AB mà AB=BN(N là đối xứng của điểm A qua B)

suy ra EM=BN(1)

EM//AB(cmt) mà A thuộc BN(gt)

nên EM//BN(2)

từ (1) và (2), suy ra :tứ giác EBNM là hình bình hành

nên : EB // MN

hay : CB // MN (C thuộc EB)

=> tứ giác CBNM là hình thang

ta lại có:

^MNB=^CBA(2 góc đồng vị)

^CMN=^ACB (đồng vị)

mà ^CBA=^ACB (tam giác ABC cân tại A)

suy ra:^MNB=^CMN

nên : hình thang CBNM là hình thang cân

d)ta có :

xét ΔMBC và ΔNCB, ta có :

MC = NB ; MB = NC (CBNM là hình thang cân )

BC cạnh chung.

=> ΔMBC = ΔNCB (c – c – c)

=> ^B1 = ^C1

Mà : ^B1 = ^E1 (so le trong)

^C1 = ^C2 (đối đỉnh)

=> ^E1 = ^C2 => ΔEFC cân tại F => FE = FC

Xét đoạn EC, ta có :

FE = FC (cmt)

ME = MC (cmt)

=> FM là đường trung trực đoạn EC

=>FM _|_ EC

Mặt khác : EC // MN

=> FM _|_ MN tại M

Vậy : D MNF vuông tại M.

Answer 2

[Nguyễn Thành Trương]

a. ta có AC=CM ; BC=CE => tứ giác ABME là hình bình hành ( hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

b. Ta có ME=AB

mà AB=AC=CM => CM=ME (=AB)

=> tam giác MEC cân tại M

c. Xét tam giác AMN có

(1) AB=BN ; AC=CM => BC // MN (đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh trong một tam giác sẽ song song với cạnh còn lại. Đường TB của tam giác) => BCMN là hình thang

(2) Ta có BN=CM (g.thiết)

từ (1) và (2) => tứ giác BCMN là hình thang cân (vì có hai cạnh bên là BN và CM bằng nhau)