Cho a,b,c,d thuộc Z.CMR:
(b-a)(c-a)(d-a)(d-c)(b-d)(c-b) chia hết cho 12.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
+) Chia 4 số a; b; c;d cho 3 . Số dư có thể là 0; 1; 2
theo nguyên lí Dirichle: có ít nhất 2 trong 4 số a; b; c; d có cùng số dư khi chia cho 3
=> Hiệu hai số đó chia hết cho 3
=> Trong số tất cả các hiệu a-b; a - c; a - d; b - c; b - c; c - d có hiệu chia hết cho 3
=> tích A chia hết cho 3 (*)
+) Xét 3 số a; b; c . chia 3 số đó cho 2 . Số dư có thể là 0;1
Theo nguyên lí Dirichle: có ít nhất 2 trong số a; b; c có cùng số dư khi chia cho 2
=> Hiệu hai số đó chia hết cho 2
=> Trong hiệu a - b; a - c; b - c có hiệu chia hết cho 2
=> Tích (a - b)(a - c)(b - c) chia hết cho 2
+) Xét 3 số b; c; d . tương tự như trên => Có ít nhất 2 trong 3 số b; c;d có cùng số dư khi chia cho 2
- Nếu d cùng số dư với b hoặc c => (b - d) hoặc (c - d) chia hết cho 2 => tích (a - d)(b - d)(c - d) chia hết cho 2
- Nếu d không cùng số dư với cả b và c => b và c có cùng số dư
* Nếu a cùng số dư với b; c => a - b; b - c chia hết cho 2 => Tích (a - b)(a - c)(b - c) chia hết cho 2 chia hết cho 4
* Nếu a không cùng số dư với b và c => a và d cùng số dư => a - d chia hết cho 2 => tích (a - d)(b - d)(c - d) chia hết cho 2
=> Tích A luôn chia hết cho 4 (**)
Từ (*)(**) =>A luôn chia hết cho 3.4 = 12
Bạn tham khảo bài của Đinh Tuấn Việt ở Câu hỏi của Ha Le - Chuyên mục hỏi đáp - Giúp tôi giải toán. - Học toán với OnlineMath
Trong 4 số a,b,c,d có ít nhất 2 số cùng số dư khi chia cho 3.
Trong 4 số a,b,c,d : nếu có 2 số cùng số dư khi chia cho 4 thì hiệu 2 số đó sẽ chia hết cho 4.
Nếu không thì 4 số dư theo thứ tự 0,1,2,3 ⇔ trong 4 số a,b,c,d có 2 số chẵn, 2 số lẽ.
Hiệu của 2 số chẵn và 2 số lẽ trong 4 số đó chia hết cho 2
⇒ Tích trên chia hết cho 3 và 4.
Mà ƯCLN(3; 4) = 1 nên (a-b).(a-c).(b-c).(b-d).(c-d) chia hết cho (3 . 4) = 12.
\(-\) Chia 4 số a , b , c , d cho 3 có thể xảy ra 3 trường hợp về số dư là dư 0 , dư 1 , dư 2 .Do đó có ít nhất có 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 .Do đó 1 hiệu trong tích trên chia hết cho 3 .Suy ra tích đó chia hết cho 3
\(-\)Chia 4 số a , b , c , d cho 4 , ta xét 4 số a , b , c , d chia hết cho 2 .Có thể xảy ra 2 trường hợp về số dư là dư 0 , dư 1 .Do đó tồn tại ít nhất 2 cặp số có cùng số dư khi chia cho 2 .Nên các hiệu trên ít nhất có 2 hiệu chia hết cho 2 .Do đó tích trên chia hết cho 4
Mà ƯCLN ( 3 , 4 ) = 1
Suy ra tích trên chia hết cho 12
Câu hỏi của Hiền Hòa - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo bài làm ở link này nhé! :)
4) P = (b-a)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)(c-b)
thấy hiệu của 2 số tùy ý (trong 4 số trên) là 1 trong những nhân tử của P
* gọi r1, r2, r3, r4 là dư khi chia a, b, c, d cho 3
có 0 ≤ ri < 3; có 4 số ri chỉ có thể nhận 3 giá trị (0, 1, 2) theo Dirichlet tồn tại ít nhất hai số ri, rj bằng nhau (i # j) chẳn hạn r1 = r2 => b-a = 3m - 3n + r2-r1 = 3(m-n) chia hết cho 3
=> P chia hết cho 3
* gọi r1, r2, r3, r4 là dư khi chia a, b, c, d cho 4 (0 ≤ ri < 4)
nếu tồn tại ri = rj (i # j) chẳng hạn r1 = r2 thì a-b chia hết cho 4
giả sử các ri đều khác nhau => 4 ri phải lấy đúng 4 giá trị khác nhau đôi 1: 0, 1, 2, 3
không giãm tính tổng quát, giả sử: r1 = 1, r2 = 2, r3 = 3, r4 = 0
khi đó có r2-r4 = 2 và r3-r1 = 2 => (b-d) và (c-a) chia hết cho 2 => P chia hết cho 4