\(\int tanx+tan^3xdx\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 8 2020
8.
\(I=\int sinx.cos2xdx=\int\left(2cos^2x-1\right)sinxdx\)
\(=\int\left(1-2cos^2x\right)d\left(cosx\right)=cosx-\frac{2}{3}cos^3x+C\)
9.
\(I=\int\frac{sin2x}{1+cos^2x}dx=-\int\frac{2\left(-sinx\right).cosx}{1+cos^2x}dx=-\int\frac{d\left(cos^2x\right)}{1+cos^2x}\)
\(=-ln\left|1+cos^2x\right|+C\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 8 2020
6.
\(I=\int cos^3xdx=\int\left(1-sin^2x\right)cosxdx\)
\(=\int\left(1-sin^2x\right)d\left(sinx\right)=sinx-\frac{1}{3}sin^3x+C\)
7.
\(I=\int sin^2x.cos^3xdx=\int sin^2x\left(1-sin^2x\right)cosxdx\)
\(=\int\left(sin^2x-sin^4x\right)d\left(sinx\right)=\frac{1}{3}sin^3x-\frac{1}{5}sin^5x+C\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 1 2022
\(\int tan^3xdx=\int tan^2x.tanxdx=\int\left(\dfrac{1}{cos^2x}-1\right)tanxdx\)
\(=\int tanx.d\left(tanx\right)-\int tanxdx=\dfrac{1}{2}tan^2x-ln\left|cosx\right|+C\)
MT
1
NT
1
4 tháng 4 2016
Đặt \(u=\ln^3x\rightarrow du=3\ln^2x\frac{dx}{x},dv=dx\rightarrow v=x\)
Do đó : \(I=x\ln^3x|^e_1-3\int\limits^3_1\ln^2xdx=e-3J\left(1\right)\)
Tính \(J=\int\limits^e_1\ln^2xdx\)
Đặt \(u_1=\ln^2x\rightarrow du_1=\frac{2\ln x}{x}dx,dv_1=dx\rightarrow v_1=x\)
Do vậy, \(J=x\ln^2x|^e_1-2\int\limits^e_1\ln xdx=e-2\left(x\ln x|^e_1-\int\limits^e_1dx\right)=e-2\left(x\ln x-x\right)|^e_1=e-2\)
Thay vào (1) ta có : \(I=e-3\left(e-2\right)=6-2e\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 2 2017
Câu 1)
\(I=\int \ln ^3 xdx\). Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln ^3x\\ dv=dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{3\ln ^2x}{x}dx\\ v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=x\ln ^3x-3\int \ln^2xdx\)
Tiếp tục nguyên hàm từng phần cho \(\int \ln ^2xdx\) như trên, ta suy ra:
\(\int\ln ^2xdx=x\ln^2x-2\int \ln x dx\).
Tiếp tục nguyên hàm từng phần cho \(\int \ln xdx\Rightarrow \int \ln xdx=x\ln x-x+c\)
Do đó mà \(I=x\ln ^3x-3(x\ln^2x-2x\ln x+2x)+c\)
\(\Leftrightarrow I=x\ln^3x-3x\ln^2x+6x\ln x-6x+c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 2 2017
Câu 2)
\(I=\int ^{1}_{0}(x+\sin ^2x)\cos x dx=\int ^{1}_{0}x\cos xdx+\int ^{1}_{0}\sin^2x\cos xdx\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x\\ dv=\cos xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\sin x\end{matrix}\right.\Rightarrow \int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+c\)
\(\Rightarrow \int ^{1}_{0} x\cos xdx=\sin 1+\cos 1-1\)
Còn \(\int ^{1}_{0}\sin^2x\cos xdx=\int ^{1}_{0}\sin ^2xd(\sin x)=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{\sin ^3x}{3}=\frac{\sin^31}{3}\)
\(\Rightarrow I=-1+\sin 1+\cos 1+\frac{\sin ^3 1}{3}\approx 0,0173\)
22 tháng 3 2016
a) \(I_1=\int\frac{dx}{2\sin x\cos x}=\frac{1}{2}\int\frac{\cos x}{\sin x}.\frac{dx}{\cos^2x}\)
Đặt \(\tan x=t\)
\(=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln\left|t\right|+C=\frac{1}{2}\ln\left|\tan x\right|+C\)
b) \(I_2=\int\frac{\sin^4x}{\cos^4x}.\frac{1}{\cos^2x}.\frac{dx}{\cos^2x}\)
Đặt \(t=\tan x\)
\(=\int t^4\left(1+t^2\right)dt\)
\(=\int t^4dt+\int t^6dt=\frac{t^5}{5}+\frac{t^7}{7}+C\)
\(=\frac{\tan^5x}{5}+\frac{\tan^7x}{7}+C\)
c) \(I_3=\int\tan^3xdx\) đặt \(t=\tan x\)
\(=\int\frac{t^3}{1+t^2}dt=\int\left(t-\frac{t}{1+t^2}\right)dt\)
\(=\frac{t^2}{2}-\frac{1}{2}\ln\left(1+t^2\right)+C\)
\(=\frac{1}{2}\tan^2x+\ln\left|\cos x\right|+C\)
d) \(\int\frac{dx}{\sin^4x}=\int\frac{1}{\sin^2x}.\frac{1}{\sin^2x}dx=-\int\left(1+\cot^2x\right)d\left(\cot x\right)\)
\(=-\cot x-\frac{1}{3}\cot^3x+C\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 2 2019
4 câu 1,3,4,5 giống nhau, mình làm 1 câu và bạn dựa vào đó tự xử lý mấy câu còn lại nhé
1/ \(I=\int sin2x.e^{3x}dx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=sin2x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2cos2x.dx\\v=\dfrac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}sin2x.e^{3x}-\dfrac{2}{3}\int cos2x.e^{3x}dx=\dfrac{1}{3}sin2x.e^{3x}-\dfrac{2}{3}I_1\)
Xét \(I_1=\int cos2x.e^{3x}dx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=cos2x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-2sin2xdx\\v=\dfrac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_1=\dfrac{1}{3}cos2x.e^{3x}+\dfrac{2}{3}\int sin2x.e^{3x}dx=\dfrac{1}{3}cos2x.e^{3x}+\dfrac{2}{3}I\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}sin2x.e^{3x}-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{3}cos2x.e^{3x}+\dfrac{2}{3}I\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{13}{9}I=\dfrac{1}{9}e^{3x}\left(3sin2x-2cos2x\right)\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{13}e^{3x}\left(3sin2x-2cos2x\right)+C\)
3/ \(\int e^x\left(\dfrac{1+cos2x}{2}\right)dx=\dfrac{1}{2}\int e^xdx+\dfrac{1}{2}\int cos2x.e^xdx=\dfrac{e^x}{2}+\dfrac{1}{2}I_1\)
\(I_1\) có cách tính y hệt như bài 1, bạn nguyên hàm từng phần 2 lần là xong
4/ Cũng hạ bậc tương tự câu trên và xử lý
5/ \(I=\int e^{-x}\left(\dfrac{cos3x+3cosx}{4}\right)dx=\dfrac{1}{4}\int e^{-x}\left(cos3x+3cosx\right)dx\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{4}\int e^{-x}cos3x.dx+\dfrac{3}{4}\int e^{-x}cosx.dx=I_1+I_2\)
Dùng phương pháp tương tự bài 1, lần lượt tính \(I_1\) và \(I_2\) rồi cộng vào
2/\(I=\int\dfrac{x^4}{\left(x^2-1\right)^2}dx=\int\left(1+\dfrac{2x^2-1}{\left(x^2-1\right)^2}\right)dx=\int\left(1+\dfrac{2}{x^2-1}+\dfrac{1}{\left(x^2-1\right)^2}\right)dx\)
\(=\int\left(1+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)^2\right)dx\)
\(=\int\left(1+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}\right)\right)dx\)
\(=\int\left(1+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)+\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\right)dx\)
\(=x+\dfrac{3}{4}ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|-\dfrac{1}{4\left(x+1\right)}-\dfrac{1}{4\left(x-1\right)}+C\)
\(=x+\dfrac{3}{4}ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|-\dfrac{x}{2\left(x^2-1\right)}+C\)
HT
12 tháng 8 2019
thầy e cx cho câu giống câu 2 kia, e tắc luôn ạ, may mà anh lm r :))
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 4 2020
a/ Đặt \(lnx=t\Rightarrow\frac{dx}{x}=dt\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{t^2+1}{2}dt=\int\left(\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}\right)dt=\frac{t^3}{6}+\frac{t}{2}+C\)
\(=\frac{ln^3x}{6}+\frac{lnx}{2}+C\)
b/ \(I=\int sin^2x.cos^2x.cosxdx=\int sin^2x\left(1-sin^2x\right)cosxdx\)
Đặt \(sinx=t\Rightarrow cosxdx=dt\)
\(I=\int t^2\left(1-t^2\right)dt=\int\left(t^2-t^4\right)dt=\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}+C\)
\(=\frac{1}{3}sin^3x-\frac{1}{5}sin^5x+C\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 4 2020
c/ \(I=\int x^4\sqrt{x^2+1}xdx\)
Đặt \(\sqrt{x^2+1}=t\Rightarrow x^2=t^2-1\Rightarrow xdx=tdt\)
\(\Rightarrow I=\int\left(t^2-1\right)^2.t.tdt=\int\left(t^4-2t^2+1\right)t^2dt\)
\(=\int\left(t^6-2t^4+t^2\right)dt=\frac{1}{7}t^7-\frac{2}{5}t^5+\frac{1}{3}t^3+C\)
\(=\frac{1}{7}\sqrt{\left(x^2+1\right)^7}-\frac{2}{5}\sqrt{\left(x^2+1\right)^5}+\frac{1}{3}\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}+C\)
d/ Đặt \(1+\sqrt{x}=t\Rightarrow x=\left(t-1\right)^2\Rightarrow dx=2\left(t-1\right)dt\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{2\left(t-1\right)dt}{t}=\int\left(2-\frac{2}{t}\right)dt=2t-2lnt+C\)
\(=2\left(1+\sqrt{x}\right)-2ln\left(1+\sqrt{x}\right)+C\)
HH
20 tháng 1 2019
\(a,\int sin2x.cosxdx=\int\dfrac{1}{2}\left[sin3x+sinx\right]dx=\dfrac{1}{2}\int sin3xdx+\dfrac{1}{2}\int sinxdx=\dfrac{-1}{6}cos3x-\dfrac{1}{2}cosx\)
\(I=\int\left(tanx+tan^3x\right)dx=\int tanx\left(1+tan^2x\right)dx\)
\(I=\int tanx\dfrac{1}{cos^2x}dx\)
Đặt \(tanx=t\Rightarrow\dfrac{dx}{cos^2x}=dt\)
\(\Rightarrow I=\int t.dt=\dfrac{t^2}{2}+C=\dfrac{tan^2x}{2}+C\)