CMR với n thuộc Z thì giá trị của b là một số nguyên
\(B=\dfrac{n^4}{24} +\dfrac{n^3}{4}+ \dfrac{11n^2}{24}+ \dfrac{n}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 12 2018
Câu A:
Ta có:
\(A=\frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}=\frac{2n}{6}+\frac{3n^2}{6}+\frac{n^3}{6}\)
\(=\frac{2n+3n^2+n^3}{6}\)
Xét tử : \(2n+3n^2+n^3=n(n^2+3n+2)=n(n^2+n+2n+2)\)
\(=n[n(n+1)+2(n+1)]=n(n+1)(n+2)\)
Vì \(n(n+1)(n+2)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)(n+2)\vdots 3\)
Vì $n(n+1)$ là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)\vdots 2\)
\(\Rightarrow n(n+1)(n+2)\vdots 2\)
Mà \((2,3)=1\Rightarrow n(n+1)(n+2)\vdots (2.3=6)\)
Do đó: \(A=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\in\mathbb{Z}\)
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 12 2018
Câu B:
Ta có:
\(B=\frac{n^4}{24}+\frac{6n^3}{24}+\frac{11n^2}{24}+\frac{6n}{24}\)\(=\frac{n^4+6n^3+11n^2+6n}{24}\)
Xét mẫu:
\(n^4+6n^3+11n^2+6n=n(n^3+6n^2+11n+6)\)
\(=n[n^2(n+1)+5n(n+1)+6(n+1)]\)
\(=n(n+1)(n^2+5n+6)=n(n+1)[n^2+2n+3n+6]\)
\(=n(n+1)[n(n+2)+3(n+2)]\)
\(=n(n+1)(n+2)(n+3)\)
Vì $n(n+1)(n+2)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)(n+2)\vdots 3\)
\(\Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)\vdots 3\)
Vì $n,n+1,n+2,n+3$ là 4 số nguyên liên tiếp nên trong đó chắc chắn có một số chia $4$ dư $2$ , một số chia hết cho $4$
\(\Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)\vdots (2.4=8)\)
Mà $(3,8)=1$ nên \(n(n+1)(n+2)(n+3)\vdots (8.3=24)\)
Do đó: \(B=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}\in\mathbb{Z}\) (đpcm)
24 tháng 2 2021
`A=n/3+n^2/2+n^3/6`
`=(n^3+3n^2+2n)/6`
`=(n(n^2+3n+2))/6`
`=(n(n+1)(n+2))/6`
Vì `n(n+1)(n+2)` là tích 3 số nguyên liên tiếp
`=>n(n+1)(n+2) vdots 6`
`=>(n(n+1)(n+2))/6 in Z(forall x in Z)`
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 9 2021
\(B=\dfrac{0!}{2!}+\dfrac{1!}{3!}+\dfrac{2!}{4!}+...+\dfrac{\left(n-2\right)!}{n!}\)
\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right).n}\)
\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)
\(=1-\dfrac{1}{n}=\dfrac{n-1}{n}\) (đpcm)
10 tháng 1 2018
\(A=\dfrac{n^5}{120}+\dfrac{n^4}{12}+\dfrac{7n^3}{24}+\dfrac{5n^2}{12}+\dfrac{n}{5}\)
\(=\dfrac{n^5}{120}+\dfrac{10n^4}{120}+\dfrac{35n^3}{120}+\dfrac{50n^2}{120}+\dfrac{24n}{120}\)
\(=\dfrac{n^5+10n^4+35n^3+50n^2+24n}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n^4+10n^3+35n^2+50n+24\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n^4+n^3+9n^3+9n^2+26n^2+26n+24n+24\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left[n^3\left(n+1\right)+9n^2\left(n+1\right)+26n\left(n+1\right)+24\left(n+1\right)\right]}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n^3+9n^2+26n+24\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n^3+2n^2+7n^2+14n+12n+24\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left[n^2\left(n+2\right)+7n\left(n+2\right)+12\left(n+2\right)\right]}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n^2+7n+12\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n^2+3n+4n+12\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left[n\left(n+3\right)+4\left(n+3\right)\right]}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}{120}\)
Để A có giá trị nguyên thì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮120\)
Thật vậy, vì A là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên trong 5 số đó có 2 số chẵn liên tiếp (tích chia hết cho 8),1 số chia hết cho 3, 1 số chia hết cho 5
mà 8, 3, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên \(A=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)⋮8.3.5=120\)
Vậy A có giá trị nguyên với mọi n \(\in\) N.
18 tháng 4 2021
b, Để a nguyên hay \(2n+2⋮2n-4\Leftrightarrow2n-4+6⋮2n-4\)
\(\Rightarrow2n-4\inƯ\left(6\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm3;\pm6\right\}\)
| 2n - 4 | 1 | -1 | 2 | -2 | 3 | -3 | 6 | -6 |
| 2n | 5 | 3 | 6 | 2 | 7 | 1 | 10 | -2 |
| n | 5/2 ( ktm ) | 3/2 ( ktm ) | 3 | 1 | 7/2 ( ktm ) | 1/2 ( ktm ) | 5 | -1 |
18 tháng 4 2021
Giải:
a) Để A=2n+2/2n-4 là phân số thì n ∉ {-1;1;2;3;5}
b) Để A là số nguyên thì 2n+2 ⋮ 2n-4
2n+2 ⋮ 2n-4
=>(2n-4)+6 ⋮ 2n-4
=>6 ⋮ 2n-4
=>2n-4 ∈ Ư(6)={-1;1;2;-2;3;-3;6;-6}
Vì 2n-4 là số chẵn nên 2n-4 ∈ {2;-2;6;-6}
Ta có bảng giá trị:
+)2n-4=2
n=3
+)2n-4=-2
n=1
+)2n-4=6
n=5
+)2n-4=-6
n=-1
Vậy n ∈ {-1;1;3;5}
Chúc bạn học tốt!
\(B=\frac{n^4}{24}+\frac{n^3}{4}+\frac{11n^2}{24}+\frac{n}{4}\)
\(B=\frac{n^4+6n^3+11n^2+6n}{24}\)
\(B=\frac{n^4+2n^3+4n^3+8n^2+3n^2+6n}{24}\)
\(B=\frac{n^3\left(n+2\right)+4n^2\left(n+2\right)+3n\left(n+2\right)}{24}\)
\(B=\frac{\left(n^3+n^2+3n^2+3n\right)\left(n+2\right)}{24}\)
\(B=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(n+2\right)}{24}\)
Lập luận là ra