a) C/tỏ rằng ab(a+b) \(⋮\)2 (a,b \(\varepsilonℕ\)
b)C/minh rằng ab + ba \(⋮\)11
c) tìm x : x + 16 \(⋮\)x +1
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: - \(x\ge0;y\ge0\)
\(\Rightarrow\left|x+y\right|=\left|x\right|+\left|y\right|=x+y\)
- \(x\le0;y\le0\)
\(\Rightarrow\left|x+y\right|=\left|x\right|+\left|y\right|=-x-y=-\left(x+y\right)\)
- \(x\ge0;y\le0\)
\(\Rightarrow\left|x+y\right|=x+y< x< \left|x\right|+\left|y\right|\)
- \(x\le0;y\ge0\)
\(\Rightarrow\left|x+y\right|=x+y>x>\left|x\right|+\left|y\right|\)
\(\Leftrightarrowđpcm\)
1
\(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)
\(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{b+a+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=2\)
=> M ko là số tự nhiên
2
\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
Do \(a^2+b^2+c^2\ge0\Rightarrow ab+bc+ca\le0\)
3
\(\left(x+y\right)\cdot35=\left(x-y\right)\cdot2010=xy\cdot12\)
\(\Rightarrow35x+35y=2010x-2010y\)
\(\Rightarrow35-2010x=2010y-35y\)
\(\Rightarrow-175x=-245y\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{245}{175}=\frac{7}{5}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{7}=\frac{y}{5}\)
Đặt \(\frac{x}{7}=\frac{y}{5}=k\)
\(\Rightarrow x=7k;y=5k\)
\(\Rightarrow\left(5k+7k\right)\cdot35=35k^2\cdot12\)
\(\Rightarrow k=k^2\Rightarrow k=1\left(k\ne0\right)\)
Vậy \(x=7;y=5\)
bài 2 chưa thuyết phục lắm, nếu \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\) thì \(ab+bc+ca\ge0\) vẫn đúng, lẽ ra phải là \(ab+bc+ca=-\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}\le0\) *3*
1 \(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(Vì a+b+c=0)
b)\(a+b+c=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)
Theo câu a) \(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\) nên ta suy ra được điều cần phải chứng minh là \(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)
2.
a) \(A=\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)
\(\Leftrightarrow A=1\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)
\(A=\left(2-1\right)\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2\)ta được
\(A=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)
\(...\)
\(A=2^{32}-1\left(ĐPCM\right)\)
b) Ta có
\(\left(100^2-101^2\right)+\left(103^2-98^2\right)+\left(105^2-96^2\right)+\left(94^2-107^2\right)\)
=\(201\left(-1+5+9-13\right)=0\)
Suy ra ĐPCM
3
a) Phân tích hết ra rồi chuyển vế làm như bài toán tìm x thông thường
b) Sử dụng bất đẳng thức a^2-b^2= (a-b)(a+b)
c) Sử dụng bất đẳng thức (a-b)(a+b)=a^2-b^2 do ta dễ thấy các biểu thức liên hợp
Không hiểu chỗ nào thì có thể nhắn tin sang để mk giải thích
a) TH1: a và b đều lẻ
=> a + b chẵn và ab lẻ => ab(a + b) chẵn (chia hết cho 2)
TH2: a lẻ, b chẵn hoặc a chẵn, b lẻ
=> a + b lẻ và ab chẵn => ab(a + b) chẵn (chia hết cho 2)
TH3: a và b đều chẵn
=> ab và a+ b đều chẵn => ab(a + b) chẵn (chia hết cho 2)
Từ các TH trên => đpcm
b) Ta có: ab + ba = 10a + b + 10b + a = (10a + 10b) + (a + b) = 10(a + b) + (a + b) = 11(a + b) chia hết cho 11
Vậy ab + ba chia hết cho 11 (đpcm)
c) Ta có: x + 16 = x + 1 + 15
=> 15 chia hết cho x + 1 (vì x + 1 chia hết cho x + 1)
=> x + 1 Ư(15) = {-1;1;-15;15}
=> x {-2;0;-16;14}
Vậy x {-2;0;-16;14}
a)
Nếu a, b cùng là số chẵn => ab(a+b) chia hết cho 2 (1)
Nếu a chẵn, b lẻ hoặc a lẻ, b chẵn => ab(a+b) chia hết cho 2 (2)
Nếu a, b cùng lẻ thì a+b chẵn => ab(a+b) chia hết cho 2 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra ab(a+b) chia hết cho 2
b)
Có: ab+ba=10a+b+10b+a=11a+11b chia hết cho 11
c)
Có: x+16 chia hết cho x+1
<=> (x+1)+ 15 chia hết cho x+1
=> 15 chia hết cho x+1
=> x+1 thuộc ước 15
Còn lại tự làm nhé