Tìm giá trị nhỏ nhất của:
\(M=x^2-4x+y^2-3y+2018\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 3 2023
\(M=6x^2+4y^2+6xy+\left(xy+\dfrac{4x}{y}\right)+\left(3xy+\dfrac{3y}{x}\right)+2022\)
\(M\ge3x^2+y^2+3\left(x+y\right)^2+2\sqrt{\dfrac{4x^2y}{y}}+2\sqrt{\dfrac{9xy^2}{x}}+2022\)
\(M\ge3\left(x^2+1\right)+\left(y^2+4\right)+3\left(x+y\right)^2+4x+6y+2015\)
\(M\ge6x+4y+3\left(x+y\right)^2+4x+6y+2015\)
\(M\ge3\left(x+y\right)^2+10\left(x+y\right)+2015\ge3.3^2+10.3+2015=2072\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)
S
28 tháng 12 2017
Có x^2 + 2xy + 4x + 4y + 2y^2 + 3 = 0
--> (x+y)^2 + 4(x+y) + 4+ y^2 - 1 = 0
--> (x+y+2)^2 + y^2 = 1
-->(x+y+2)^2 <= 1 ( vì y^2 >=1)
--> -1 <= x+y+2 <=1
--> 2015 <= x+y+2018 <= 2017
hay 2015 <= Q , dau bang xay ra khi x+y+2=-1 --> x+y=-3
Q<=2017, dau bang xay ra khi x+y+2=1 --> x+y=-1
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 2015 khi x+y =-3
giá trị lớn nhất của Q là 2017 khi x+y=-1
NN
0
KN
3
25 tháng 10 2019
\(\left(x^2+4x+4\right)+\left(y^2-2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{8055}{4}\ge\frac{8055}{4}\)
25 tháng 10 2019
\(x^2+y^2+4x-y+2018\)
\(=x^2+4x+4+y^2-y+\frac{1}{4}+\frac{8055}{4}\)
\(=\left(x+2\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{8055}{4}\ge\frac{8055}{4}\forall x;y\)
Dấu"=" xả ra<=> \(\hept{\begin{cases}\left(x+2\right)^2=0\\\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}}\)
Vậy.
11 tháng 4 2019
Bài 1a)
\(P\left(x\right)=x^{2018}+4x^2+10\)
VÌ \(x^{2018}\ge0\forall x;4x^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow x^{2018}+4x^2+10\ge10\forall x\)
Hay \(P\left(x\right)\ge10\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=0\)
11 tháng 4 2019
Bài 1b)
\(M\left(x\right)=x^2+x+1\)
\(M\left(x\right)=x^2+2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)
\(M\left(x\right)=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)
IT
0
DM
2
27 tháng 10 2017
Ta có : \(A=x^2+4x+2y^2+2xy+2018\)
\(\RightarrowđểAmin\)thì \(x^2+4x+2y^2+2xy=0\)
\(\Rightarrow Amin=0+2018=2018\)
\(\Rightarrow Amin=2018\)
8 tháng 12 2016
- \(B=\left(4x^2+3y\right)\left(4y^2+3x\right)+25xy=16x^2y^2+12\left(x^3+y^3\right)+34xy\)
\(=16x^2y^2+12\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+34xy\)
\(=16x^2y^2+12\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+22xy\)
\(=16x^2y^2-2xy+12\)
Đặt \(t=xy\) thì \(B=16t^2-2t+12=16\left(t-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\ge\frac{191}{16}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{1}{16}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\)
Vậy min B \(=\frac{191}{16}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right);\left(\frac{2-\sqrt{3}}{4};\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\)
- Như trên ta có : \(B=16\left(xy-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\)
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy , ta có : \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
Suy ra : \(B\le16\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}=\frac{25}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1/2
Vậy max B = 25/2 khi (x;y) = (1/2;1/2)
\(M=x^2-4x+y^2-3y+2018\)
\(M=x^2-4x+4+y^2-3y+\frac{9}{4}+2015,75\)
\(M=\left(x^2-2\cdot x\cdot2+2^2\right)+\left[y^2-2\cdot y\cdot\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2\right]+2015,75\)
\(M=\left(x-2\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2+2015,75\)
Vì \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x;\left(y-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\forall y\)
\(\Rightarrow M\ge0+0+2015,75=2015,75\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2=0\\y-\frac{3}{2}=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=\frac{3}{2}\end{cases}}}\)
Vậy \(M_{min}=2015,75\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y-\frac{3}{2}\end{cases}}\)
\(M=x^2-4x+y^2-3y+2018\)
\(M=\left(x^2-2.x.2+2^2\right)+\left(y^2-2.y.1,5+1,5^2\right)+2011,75\)
\(M=\left(x-2\right)^2+\left(y-1,5\right)^2+2011,75\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\\\left(y-1,5\right)^2\ge0\forall y\end{cases}}\Rightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-1,5\right)^2+2011,75\ge2011,75\)
\(M=2011,75\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-2\right)^2=0\\\left(y-1,5\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2=0\\y-1,5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1,5\end{cases}}\)
Vậy \(M_{min}=2011,75\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1,5\end{cases}}\)