Cho \(n\inℕ^∗\).Chứng minh: \(A=n^4+4^n\)là hợp số với n>1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
Chứng minh: Số có dạng \(n^6-n^4+2n^3+2n^2\) với \(n\inℕ\) và \(n>1\) không phải là số chính phương.
1
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
3 tháng 8 2023
\(=n^2\left(n^4-n^2+2n+2\right)=\)
\(=n^2\left[n^2\left(n^2-1\right)+2\left(n+1\right)\right]=\)
\(=n^2\left[n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]=\)
\(=n^2\left[\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)\right]=\)
\(=n^2\left\{\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)\right]\right\}=\)
\(=n^2\left\{\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]\right\}=\)
\(=n^2\left\{\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]\right\}=\)
\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-n+1\right)-n^2\left(n+1\right)^2\left(n-1\right)=\)
\(=n^2\left(n+1\right)^2\left[\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)\right]=\)
\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\) Giả sử đây là số chính phương
\(\Rightarrow n^2-2n+2\) Phải là số chính phương
Ta có
\(n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1\Rightarrow n^2-2n+2>\left(n-1\right)^2\) (1)
Ta có
\(n^2-2n+2=n^2-2\left(n-1\right)\) Với n>1
\(\Rightarrow n^2-2n+2< n^2\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\left(n-1\right)^2< n^2-2n+2< n^2\)
Mà \(\left(n-1\right)^2\) và \(n^2\) là hai số chính phương liên tiếp nên \(n^2-2n+2\) không phải là số chính phương
=> Biểu thức đề bài đã cho không phải là số chính phương
28 tháng 7 2020
Bạn tham khảo câu trả lời của anh alibaba Nguyễn ở đây nhé:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/77939936222.html
Câu hỏi của Nguyễn Thị Thảo - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
KN
0
KN
1
NT
2
10 tháng 11 2016
Nếu n chẵn thì cái tổng chia hết cho 2
Nếu n lẻ thì
Phân tích nhân tử
Ta có : \(n^4+4^n=\left(n^2\right)^2+\left(2^n\right)^2+2n^2+2^n=\left(n^2+2^n\right)^2-n^2+2^{n+1}=\left(n^2+2^n-n.2^{\frac{n+1}{2}}\right)\left(n^2+2^n+n.2^{\frac{n+1}{2}}\right)\)
Ta chỉ cần chứng minh cả 2 thừa số đều lớn hơn 1 là được
Tức là ta chứng minh \(n^2+2^n-n.2^{\frac{n+1}{2}}\ge1\)
Tương đương với \(n^2+2^{n+1}-2n.2^{\frac{n+1}{2}}+n^2\ge2\) ( nhân 2 cho 2 vế )
\(BĐT\Rightarrow\left(n-2^{\frac{n+1}{2}}\right)^2+n^2\ge2\)đúng với n lẻ và n ≥ 3
Vậy, ta có điều phải chứng minh
LG
0
Nếu nn chẵn thì cái tổng chia hết cho 2
Nếu nn lẻ thì
Phân tích nhân tử
Ta có n4+4n=(n2)2+(2n)2+2.n2.2n−2.n2.2n=(n2+2n)2−n2.2n+1=(n2+2n−n.2n+12)(n2+2n+n.2n+12)n4+4n=(n2)2+(2n)2+2.n2.2n−2.n2.2n=(n2+2n)2−n2.2n+1=(n2+2n−n.2n+12)(n2+2n+n.2n+12)
Ta chỉ cần chứng minh cả 2 thừa số đều lớn hơn 1 là được
Tức là ta chứng minh n2+2n−n.2n+12≥1n2+2n−n.2n+12≥1
Tương đương với n2+2n+1−2n.2n+12+n2≥2n2+2n+1−2n.2n+12+n2≥2 ( nhân 2 cho 2 vế )
BĐT <=>(n−2n+12)2+n2≥2<=>(n−2n+12)2+n2≥2 đúng với nn lẻ và n≥3n≥3
Vậy, ta có điều phải chứng min