Cho a, b là các số nguyên dương thoả mãn \(P=a^2+b^2\) là số nguyên tố và \(P-5\) chia hết cho 8. Giả sử x, y là các số nguyên thoả mãn \(ax^2-by^2\) chia hết cho P. Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết cho P
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 9 2018
p=a^2+b^2 (1)
p là số nguyên tố, p-5 chia hết 8 => p lẻ >=13 và a,b có 1 chẵn 1 lẻ
A=a.x^2-b.y^2 chia hết cho p, nên có thể viết A = p(c.x^2 -d.y^2) với c,d phải nguyên
và c.p = a và d.p = b
thay (1) vào ta thấy c=a/(a^2+b^2) cần nguyên là vô lý vậy A muốn chia hết cho p <=> x và y cùng là bội số của p
DB
2 tháng 9 2018
Đặt \(p=8k+5\left(đk:K\in N\right)\)
Vì: \(\left(ax^2\right)^{4k+2}-\left(by^2\right)^{4k+2}⋮\left(ax^2-by^2\right)\)
\(\Rightarrow a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}⋮p\)
Mà \(a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}\)\(=\left(a^{4k+2}+b^{4k+2}\right).x^{8k+4}-b^{4k+2}\)\(\left(x^{8k+4}+y^{8k+4}\right)\)
Ta lại có: \(a^{4k+2}+b^{4k+2}=\left(a^2\right)^{2k+1}+\left(b^2\right)^{2k+1}⋮p\) ; p<d nên \(x^{8k+4}+y^{8k+4}⋮p\)
Làm tiếp đi
29 tháng 3 2023
Lại có p>q>3 nên q=3k+1, 3k+2 ( k là stn và k>0 )
Loại q=3k+1 vì nếu q=3k+1 thì p=3(k+1) chia hết cho 3 là hợp số( vô lý)
Vậy q=3k+2 nên p=3(k+1)+1
Đặt k=2m, 2m+1
Nếu k=2m thì q=3(2m+1)+1. Mà 3(2m+1) là số lẻ nên q chẵn. Mà q là số nguyên tố và q>2 nên q lẻ ( vô lý)
Vậy k=2m+1
Suy ra \(q^3+p^3=18k^3+162k^2+180k+72\)
Dễ thấy \(180k+72⋮36\)
Cần cm \(18k^3+162k^2⋮36\)
Dễ thấy \(18k^3+162k^2\) chia hết cho 9 (1)
Vì m là số lẻ nên m chia 4 dư 1 hoặc 3
Xét 2 trường hợp suy ra \(18k^3+162k^2\) chia hết cho 4 (2)
Từ (1),(2) và 4 và 9 là 2 số nguyên tố cùng nhau
Suy ra \(18k^3+162k^2⋮36\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
29 tháng 3 2023
Từ đoạn Suy ra q3+p3=18k3+162k2+180k+72 mình viết nhầm m thành k :))))))))
PT
1
13 tháng 8 2019
Giả sử x;y⋮̸ 3
⇒x^2;y^2 chia 3 dư 1
⇒z^2=x^2+y^2 chia 3 dư 2 ( vô lý vì z^2 là số chính phương )
Vậy x⋮3y⋮3⇒xy⋮3
Chứng minh tương tự xy⋮4
(3;4)=1 => x.y chia hết cho 12
Ta có:\(P-5⋮8\)
\(\Rightarrow P\) có dạng 8k+5(\(k\in N\))
Ta có:\(\left(ax^2\right)^{4k+2}-\left(by^2\right)^{4k+2}⋮ax^2-by^2⋮p\)(1)
Mặc khác:\(\left(ax^2\right)^{4k+2}-\left(by^2\right)^{4k+2}=x^{8k+4}\left(a^{4k+2}+b^{4k+2}\right)-b^{4k+2}\left(x^{8k+4}+y^{8k+4}\right)\)
Lại có:\(a^{4k+2}+b^{4k+2}=\left(a^2\right)^{2k+1}+\left(b^2\right)^{2k+1}⋮a^2+b^2=P\)
Từ (1) \(\Rightarrow b^{4k+2}\left(x^{8k+4}+y^{8k+4}\right)⋮p\)
Mà p là snt và b<p\(\Rightarrow x^{8k+4}+y^{8k+4}⋮p\)(2)
Giả sử \(x⋮p\Rightarrow y⋮p\)
Giả sử x không chia hết cho p
Thì theo định lí fecma ta có:
\(x^{8k+4}=x^{p-1}\equiv1\)(mod p);\(y^{8k+4}\equiv1\)(mod p)
\(\Rightarrow x^{8k+4}+y^{8k+4}\equiv2\)(mod p) mà p>2=>mâu thuẫn với (2)
=>đpcm