CHO \(a,b,c\ge0\),\(a+b+c=3\)
CMR \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PH
0
LT
10 tháng 12 2017
Ta có :\(2\sqrt{\frac{b+c-a}{a}}\le\frac{b+c-a}{a}+1=\frac{b+c}{a}\)
<=> \(\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}\ge\frac{2a}{b+c}\)
\(CMTT\)=> \(\sqrt{\frac{b}{c+a-b}}\ge\frac{2b}{c+a}\)
\(\sqrt{\frac{c}{a+b-c}}\ge\frac{2c}{a+b}\)
=>\(VT\)\(\ge\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\)
\(CM\)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
=> \(\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\ge3\)
=>\(VT\ge3\)
KN
28 tháng 1 2020
*Biến đổi \(\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\frac{1-c}{\sqrt{ab+1-a-b}}=\frac{1-c}{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}}\)
*Tương tự ta có: \(\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}=\frac{1-a}{\sqrt{\left(1-b\right)\left(1-c\right)}}\)
và \(\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}=\frac{1-b}{\sqrt{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}}\)
*Từ đó \(VT=\frac{1-c}{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}}+\frac{1-a}{\sqrt{\left(1-b\right)\left(1-c\right)}}\)
\(+\frac{1-b}{\sqrt{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}}\)
Do a,b,c dương và a + b + c = 1 nên \(a,b,c\in\left(0;1\right)\)\(\Rightarrow1-a;1-b;1-c\)dương
*Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm, ta được:
\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1-c}{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}}.\frac{1-b}{\sqrt{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}}.\frac{1-a}{\sqrt{\left(1-c\right)\left(1-b\right)}}}=3\)
(Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3)
T
28 tháng 1 2020
╰❥결 원ッ2K҉7⁀ᶦᵈᵒᶫ♚ Biến đổi thẳng ở dưới mẫu luôn sẽ hay hơn nha! Khi đó không cần để ý tới dấu của 1 - a, 1 - b, 1 - c.
Sửa đề: \(\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\ge3\)
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\Sigma_{cyc}\frac{a+b}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}\)
\(=\Sigma_{cyc}\frac{a+b}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\ge3\sqrt[3]{\frac{a+b}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}.\frac{b+c}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}}.\frac{c+a}{\sqrt{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}}}=3\)
Nó sẽ ngắn hơn một chút đúng không?
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
KN
1 tháng 6 2020
Ta có BĐT sau: \(\sqrt{\frac{1+a^2}{b+c}}\ge\frac{a+1}{\sqrt{2\left(b+c\right)}}\)(*)
Thật vậy, với a,b,c dương, ta có: (*)\(\Leftrightarrow\frac{1+a^2}{b+c}\ge\frac{\left(a+1\right)^2}{2\left(b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1+a^2}{b+c}\ge\frac{\frac{\left(a+1\right)^2}{2}}{b+c}\Leftrightarrow1+a^2\ge\frac{a^2}{2}+a+\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2}{2}\ge0\)(đúng với mọi \(a\inℝ\))
Tương tự, ta có: \(\sqrt{\frac{1+b^2}{c+a}}\ge\frac{b+1}{\sqrt{2\left(c+a\right)}}\)(2); \(\sqrt{\frac{1+c^2}{a+b}}\ge\frac{c+1}{\sqrt{2\left(a+b\right)}}\)(3)
Cộng theo vế của các BĐT (*), (2), (3), ta được:
\(\Sigma\sqrt{\frac{1+a^2}{b+c}}\ge\Sigma\frac{a+1}{\sqrt{2\left(b+c\right)}}\ge\Sigma\frac{a+1}{\frac{\left(b+c\right)+2}{2}}=\Sigma\frac{2\left(a+1\right)}{b+c+2}\)
\(=\Sigma\left(\frac{2a^2}{ab+ca+2a}+\frac{2}{b+c+2}\right)\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)}+\frac{9}{a+b+c+3}\)(Theo BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\left(a+b+c\right)}+\frac{9}{a+b+c+3}\)
\(\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{a+b+c+3}+\frac{9}{a+b+c+3}=\frac{3\left(a+b+c+3\right)}{a+b+c+3}=3\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
30 tháng 8 2017
Do a,b,c là 3 cạnh tam giác nên \(a+b-c>0;b+c-a>0;c+a-b>0\)
Đặt \(x=b+c-a>0\)
\(y=a+c-b>0\)
\(z=a+b-c>0\)
\(\Rightarrow a=\frac{"y+z"}{2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{"x+z"}{2}\)
\(\Rightarrow c=\frac{"x+y"}{2}\)
\(A=\frac{a}{"b+c-a"}+\frac{b}{"a+c-b"}+\frac{c}{"a+b-c"}\)
\(=\frac{"y+z"}{"2x"}+\frac{"x+z"}{"2y"}+\frac{"x+y"}{"2z"}\)
\(=\frac{1}{2}."\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}"\)
Áp dụng công thức bdt Cauchy cho 2 số :
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
\(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)
\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)
Cộng 3 bdt trên, suy ra :
\("\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}"\ge6\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}.6=3\) "dpcm"
P/s: Nhớ thay thế dấu ngoặc kép thành dấu ngoặc đơn nhé