Question

[Taylor Swift]

Cho a,b,c là các số thực bất kì , chứng minh rằng a^2+b^2+c^2 +1 > a + b + c .

Answer 1

[_Guiltykamikk_]

\(a^2+b^2+c^2+1>a+b+c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+1-a-b-c>0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}>0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}>0\)( luôn đúng )

Vậy ...

Answer 2

[Dương Lam Hàng]

Ta có: \(a^2+b^2+c^2+1>a+b+c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+1-a-b-c>0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}>0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2.a.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-2.b.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-2.c.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}>0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}>0\)

Ta thấy: (a-1/2)² lớn hơn hoặc bằng 0 (với mọi a)

             (b-1/2)² lớn hơn hoặc bằng 0 (với mọi b)

             (c-1/2)² lớn hơn hoặc bằng 0 (với mọi c)

             1/4 > 0

Nên BĐT luôn đúng

=> ĐPCM