Cho x, y > 0 và x + 2y \(\ge5\)
Tìm Min H = \(x^2+2y^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{24}{y}\)
Ai có cách giải hay và dễ hiểu ko ạ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TC
2
MS
31 tháng 12 2018
Áp dụng bđt \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
\(x^2+2y^2\ge\dfrac{\left(x+2y\right)^2}{2}=\dfrac{25}{2}\)
Ta có:
\(x+2y\ge2\sqrt{x2y}\)
\(\Leftrightarrow5\ge2\sqrt{2xy}\)
\(\Rightarrow25\ge4.2xy\Rightarrow xy\le\dfrac{25}{8}\)
Áp dụng bđt Cosi
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{24}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{24}{xy}}\ge2\sqrt{\dfrac{24}{\dfrac{25}{8}}}=2\sqrt{\dfrac{24.8}{25}}=\dfrac{16}{5}\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow H\ge\dfrac{16}{5}\sqrt{3}+\dfrac{25}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=2y\\x+2y=5\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\\y=\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)
25 tháng 7 2018
ta có : \(H=x^2+2y^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{24}{y}=x^2+\dfrac{1}{x}+2y^2+\dfrac{24}{y}\)
\(\Rightarrow H\ge2\sqrt{x}+2\sqrt{48y}\) dấu "=" xảy ra khi \(x=1;y=2\)
thế lại ta có : \(H_{min}=2+8\sqrt{6}\)
vậy ....................................................................................................................
2 tháng 3 2023
`P=x^3/(x+y)+y^3/(y+z)+z^3/(z+x)`
`=x^4/(x^2+xy)+y^4/(y^2+yz)+z^4/(z^2+zx)`
Ad bđt cosi-swart:
`P>=(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)`
Mà `xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2)`
`=>P>=(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2))=(x^2+y^2+z^2)/2=3/2`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1`
`Q=(x^3+y^3)/(x+2y)+(y^3+z^3)/(y+2z)+(z^3+x^3)/(z+2x)`
`Q=(x^3/(x+2y)+y^3/(y+2z)+z^3/(z+2x))+(y^3/(x+2y)+z^3/(y+2z)+x^3/(z+2x))`
`Q=(x^4/(x^2+2xy)+y^4/(y^2+2yz)+z^4/(z^2+2zx))+(y^4/(xy+2y^2)+z^4/(yz+2z^4)+x^4/(xz+2x^2))`
Áp dụng BĐT cosi-swart ta có:
`Q>=(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)+(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx))`
Mà`xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2`
`=>Q>=(x^2+y^2+z^2)^2/(3(x^2+y^2+z^2))+(x^2+y^2+z^2)^2/(3(x^2+y^2+z^2))=(2(x^2+y^2+z^2)^2)/(3(x^2+y^2+z^2))=(2(x^2+y^2+z^2))/3=2`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1.`
NT
1
21 tháng 4 2019
1/y thành 1/x nhé
H = x2 + 2y2 + 1/x + 24/y
H = ( x2 + 1 ) + 2 ( y2 + 4 ) + 1/x + 24/y
H \(\ge\)2x + 8y + 1/x + 24/y = ( x + 1/x ) + ( 6y + 24y ) x + 2y - 9
\(\ge\)2 + 24 + 5 - 9 = 22
Dấu " = " xảy ra khi x = 1 ; y = 2
8 tháng 7 2021
áp dụng BDT AM-GM \(=>x+y\ge2\sqrt{xy}=>\left(x+y\right)^2\ge4xy\left(1\right)\)
mà \(x+y\le1=>\left(x+y\right)^2\le1\left(2\right)\)
(1)(2)\(=>4xy\le\left(x+y\right)^2\le1=>4xy\le1=>xy\le\dfrac{1}{4}\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1+x^2y^2}{xy}}=2\sqrt{\dfrac{1}{xy}+xy}\)
\(=2\sqrt{\dfrac{1}{xy}+16xy-15xy}=2\sqrt{2\sqrt{16}-\dfrac{15}{4}}=\sqrt{17}\)
dấu"=" xảy ra<=>\(x=y=\dfrac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 7 2021
\(1\ge x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{1}{xy}\ge4\)
Ta có:
\(A\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}.\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\dfrac{1}{xy}+xy}=2\sqrt{\left(xy+\dfrac{1}{16xy}\right)+\dfrac{15}{16}.\dfrac{1}{xy}}\)
\(A\ge2\sqrt{2\sqrt{\dfrac{xy}{16xy}}+\dfrac{15}{16}.4}=\sqrt{17}\)
\(A_{min}=\sqrt{17}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
MM
2
T
9 tháng 2 2019
\(H=\left(x^2+1\right)+\left(2y^2+8\right)+\frac{1}{x}+\frac{24}{y}-9\)
\(\ge2\sqrt{x^2.1}+2\sqrt{2y^2.8}+\frac{1}{x}+\frac{24}{y}-9\)
\(=2x+8y+\frac{1}{x}+\frac{24}{y}-9\)
\(=\left(\frac{1}{x}+x\right)+\left(\frac{24}{y}+6y\right)+x+2y-9\)
\(\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}+2\sqrt{\frac{24}{y}.6y}+x+2y-9\)
\(=2+24+x+2y-9\ge26+5-9=22\)
Dấu "=" xảy ra khi x = 1; y = 2
Vậy ....
5 tháng 1 2023
\(=\left[\left(\dfrac{-\left(x-y\right)}{x-2y}-\dfrac{x^2+y^2+y-2}{\left(x-2y\right)\left(x+y\right)}\right):\dfrac{\left(2x^2+y\right)^2-4}{x\left(x+y\right)+\left(x+y\right)}\right]:\dfrac{x+1}{2x^2+y+2}\)
\(=\dfrac{-x^2+y^2-x^2-y^2-y+2}{\left(x-2y\right)\left(x+y\right)}\cdot\dfrac{\left(x+y\right)\left(x+1\right)}{\left(2x^2+y-2\right)\left(2x^2+y+2\right)}\cdot\dfrac{2x^2+y+2}{x+1}\)
\(=\dfrac{-2x^2-y+2}{\left(x-2y\right)}\cdot\dfrac{\left(x+1\right)}{\left(2x^2+y-2\right)\left(2x^2+y+2\right)}\cdot\dfrac{2x^2+y+2}{x+1}\)
\(=\dfrac{-1}{x-2y}\)
TD
Thầy Đức Anh
Giáo viên
VIP
5 tháng 1 2023
Thay $x=-1,76$ và $y=\dfrac{3}{25}$ vào $P=\dfrac{-1}{x-2y}$, ta được:
$P=\dfrac{-1}{-1,76-2.(\dfrac{3}{25})}=\dfrac{1}{2}$.
31 tháng 10 2021
\(xy\ne0,x,y\ne1\)
\(A=\dfrac{x^{ }}{y^3-1}-\dfrac{y}{x^3-1}+\dfrac{2\left(x+y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(xét:\dfrac{2\left(x+y\right)}{x^2y^2+3}=\dfrac{2}{x^2y^2+3}\left(1\right)\)
\(\dfrac{x^{ }}{y^3-1}-\dfrac{y}{x^3-1}=\dfrac{x^4-x-y^4+y}{\left(x^3-1\right)\left(y^3-1\right)}\left(2\right)\)
\(xét:\) \(x^4-x-y^4+y=\left(x-y\right)\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3-1\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+xy\left(x+y\right)-1\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left(1-3xy+xy-1\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(-2xy\right)=-2xy\left(x-y\right)=2xy\)
\(xét\) \(\left(y^3-1\right)\left(x^3-1\right)=x^3y^3-\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right]+1\)
\(=x^3y^3-\left(1-3xy\right)+1=x^3y^3+3xy=xy\left(x^2y^2+3\right)\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\Leftrightarrow\dfrac{-2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow A=\dfrac{2}{x^2y^2+3}-\dfrac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=\dfrac{2-2x+2y}{x^2y^2+3}\ne0\left(đề-sai\right)\)
MN
12 tháng 12 2021
7) vì \(\dfrac{x}{5}\)=\(\dfrac{y}{6}\)=\(\dfrac{z}{7}\)và x-y+z=36
Nên theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{x}{5}\)=\(\dfrac{y}{6}\)=\(\dfrac{z}{7}\)=\(\dfrac{x-y+z}{5-6+7}\)=\(\dfrac{36}{6}\)=6
\(\Rightarrow\)x=6.5=30
y=6.6=36
z=6.7=42
vậy x=30,y=36,z=42