Cho \(a,b,c\ge0\) và a + b + c = 1. Chứng minh :
a) \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}< 3,5\)
b) \(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\le\sqrt{6}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 4 2023
Ta có \(\sqrt{a-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}\) \(=\sqrt{a-1}+\dfrac{1}{4\sqrt{a-1}}+\dfrac{3}{4\sqrt{a-1}}\) \(\ge2\sqrt{\sqrt{a-1}.\dfrac{1}{4\sqrt{a-1}}}+\dfrac{3}{4\sqrt{a-1}}\) \(=1+\dfrac{3}{4\sqrt{a-1}}\).
Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng vế theo vế, ta có
\(VT\ge3+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\right)\)
\(\ge3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}}\)
\(\ge3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}\) \(=\dfrac{15}{2}\).
ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{5}{4}\). Ta có đpcm
XO
18 tháng 4 2023
Có \(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{15}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{15}{2}-\left(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\right)\ge6\) (1)
Ta chứng minh (1) đúng
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz :
\(\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}=6\)Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a-1}=\sqrt{b-1}=\sqrt{c-1}\\\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{5}{4}\)(tm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 4 2021
Ta có:
\(b\ge0\Rightarrow b^3+1\ge1\Rightarrow a\sqrt{b^3+1}\ge a\)
Hoàn toàn tương tự: \(b\sqrt{c^3+1}\ge b\) ;\(c\sqrt{a^3+1}\ge c\)
Cộng vế:
\(P\ge a+b+c=3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị
Lại có:
\(a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\dfrac{a\left(b^2+2\right)}{2}\)
Tương tự: \(b\sqrt{c^3+1}\le\dfrac{b\left(c^2+2\right)}{2}\) ; \(c\sqrt{a^3+1}\le\dfrac{c\left(a^2+2\right)}{2}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+a+b+c=\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2+2abc\right)+3\)
Nên ta chỉ cần chứng minh: \(Q=ab^2+bc^2+ca^2+2abc\le4\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=mid\left\{a;b;c\right\}\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\le0\Leftrightarrow a^2+bc\le ab+ac\)
\(\Rightarrow ca^2+bc^2\le abc+ac^2\)
\(\Rightarrow Q\le ab^2+ac^2+2abc=a\left(b+c\right)^2=\dfrac{1}{2}.2a\left(b+c\right)\left(b+c\right)\le\dfrac{1}{54}\left(2a+2b+2c\right)^3=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right)\) và 1 số hoán vị của chúng
30 tháng 11 2019
*) ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)
Nhân vế với vế của các BĐT trên,ta được: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8abc\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
26 tháng 2 2017
a) Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số không âm ta có: \(\sqrt{a+1}=\sqrt{1.\left(a+1\right)}\le\frac{1+a+1}{2}=\frac{a}{2}+1\)
Tương tự: \(\sqrt{b+1}\le\frac{b}{2}+1\)
\(\sqrt{c+1}\le\frac{c}{2}+1\)
Cộng vế với vế ta được: \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le\frac{a+b+c}{2}+3=3,5\)
Dấu "='' xảy ra khi a + 1 = b + 1 = c + 1 = 1
<=> a = b = c = 0, mâu thuẫn với đề: a + b + c = 1
Do đó \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}< 3,5\left(đpcm\right)\)
26 tháng 2 2017
b) Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz cho bộ 3 số dương ta có:
\(\left(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\)\(\left[\left(\sqrt{a+b}\right)^2+\left(\sqrt{b+c}\right)^2+\left(\sqrt{c+a}\right)^2\right]\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le3.2.\left(a+b+c\right)=6.1=6\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{6}\left(đpcm\right)\)
TN
28 tháng 7 2017
a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)
\(\le2\cdot\left(1+1+1\right)\left(a+b+c\right)\le6\)
\(\Rightarrow VT^2\le6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{a+\sqrt{b+\sqrt{2c}}}+\sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{c+\sqrt{a+\sqrt{2b}}}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+Σ\sqrt{b+\sqrt{2c}}\right)\)
\(=3\left(6+\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)\)
Đặt \(A^2=\left(\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\)
\(=3\left(6+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\)
Đặt tiếp: \(B^2=\left(\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)^2\)
\(\le2\cdot\left(1+1+1\right)\left(a+b+c\right)\le36\Rightarrow B\le6\)
\(\Rightarrow A^2\le3\left(6+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\le3\cdot12=36\Rightarrow A\le6\)
\(\Rightarrow VT^2\le3\left(6+\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)\)
\(\le3\left(6+6\right)=3\cdot12=36\Rightarrow VT\le6=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=2\)
TS
0
\(a.\) Áp dụng BĐT Cô - Si cho các số không âm , ta có :
\(\sqrt{1}.\sqrt{a+1}\le\dfrac{a+1+1}{2}=\dfrac{a+2}{2}\)
\(\sqrt{1}.\sqrt{b+1}\le\dfrac{b+1+1}{2}=\dfrac{b+2}{2}\)
\(\sqrt{1}.\sqrt{c+1}\le\dfrac{c+1+1}{2}=\dfrac{c+2}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le\dfrac{a+b+c+6}{2}=\dfrac{7}{2}=3,5\)
Dấu \("="\) xảy ra khi : \(\left\{{}\begin{matrix}a+1=1\\b+1=1\\c+1=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c=0\)\(\Rightarrow a+b+c\ne1\left(trái-với-giả-thiết\right)\)
\(\Rightarrow\) Dấu \("="\) không xảy ra .
\(\Rightarrow\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}< 3,5\)
\(b.\) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có :
\(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+a+c\right)=3.2=6\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\le\sqrt{6}\)
Dấu " = " xảy ra khi : \(a+b=b+c=a+c\Rightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Câu a : Dùng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có :
\(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le\sqrt{3\left(a+b+c+3\right)}=\sqrt{12}=3,46< 3,5\)
Câu b tương tự :
\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{6\left(a+b+c\right)}=\sqrt{6}\)