Question

[Hoàng Ngọc Tuyết Nung]

cho \(a,b,c\ge0\)và a+b+c=1.

cmr: \(a+2b+c\ge4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta thấy:

\(\text{VT}=a+2b+c=(a+b+c)+b=1+b(1)\)

Vế phải:

Áp dụng BĐT AM-GM:
\(4(1-a)(1-c)\leq (1-a+1-c)^2=(2-a-c)^2=(1+a+b+c-a-c)^2=(1+b)^2(2)\)

\(\Rightarrow 4(1-a)(1-b)(1-c)\leq (1-b)(1+b)^2\)

Mà : \((1-b)(1+b)^2-(1+b)=(1+b)[(1-b^2)-1]=-b^2(1+b)\leq 0, \forall b\geq 0\)

Do đó: \((1-b)(1+b)^2\leq 1+b(3)\)

Từ (1);(2);(3) ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=c=\frac{1}{2}; b=0\)