Question

[DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG]

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ngoại tiếp đường tròn \(\left(O;r\right)\) , đặt \(BC=a\) .

Chứng minh rằng : \(\dfrac{r}{a}\le\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\)

Answer 1

[Hung nguyen]

Gọi đường tròn tâm O bán kính r nội tiếp trong ∆ABC vuông ở A. (O) tiếp xúc với AB, BC, CA tại M, N, P.

=> AM = AP; BM = BN; CN = CP

Vì ABC vuông tại A

=> AM = AP = r

=> c + b - a = AB + AC - BC

= AM + MB + AP + PC - BN - NC

= AM + AP = 2r

=> r = (b + c - a)/2

Answer 2

[Hung nguyen]

Ta có: r = (b + c - a)/2. Thế vào bài toán ta được

r/a = (b + c - a)/(2a)

Từ đây ta thấy để chứng minh bài toán là đúng thì ta chỉ cần chứng minh

b/a + c/a <= √2

Ta có: b² + c² = a²

<=> (b/a)^2 + (c/a)^2 = 1

=> (b/a + c/a)^2 <= 2[(b/a)^2 + (c/a)^2] = 2

=> b/a + c/a <= √2

PS: Không có máy tính nên làm vậy nha. Ráng đọc nha e :D