Cho hai số nguyên dương x, y thỏa mãn hệ thức 4x\(^3\) + x = 12y\(^3\) + y. Chứng minh rằng: 4x\(^2\) + 4xy + 4y\(^2\) + 1 là lập phương của một số nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
H
11 tháng 12 2022
Ta có: x2+y2+2xy-4x-2y+1=0
⇔(x2+y2+2xy-2x-2y+1)-2x=0
⇔(x+y-1)2=2x
Mà (x+y-1)2 là số chính phương
⇒2x là số chính phương
⇒2x chia 4 dư 0 hoặc 1
Mà 2x là số chẵn
⇒2x chia hết cho 4
⇒x chia hết cho 2
⇒x là số chẵn(đpcm)
Lại có:(x+y-1)2=2x
⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\)=x
⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\): 2=x:2
⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\). \(\dfrac{1}{2}\) =x:2
⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{4}\)=x:2
⇒(\(\dfrac{x+y-1}{2}\))2=x:2
Mà \(\left(\dfrac{x+y-1}{2}\right)^2\) là số chính phương
⇒x:2 là số chính phương (đpcm)
4 tháng 8 2017
\(x^2+y^2+4=2xy+4x+4y\)
\(\Leftrightarrow x^2-\left(2y+4\right)x+y^2-4y+4=0\)
Xét phương trình theo nghiệm x.
\(\Rightarrow\Delta'=\left(y+2\right)^2-\left(y^2-4y+4\right)=8y\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y+2-2\sqrt{2y}\\x=y+2+2\sqrt{2y}\end{cases}}\)
Vì x, y nguyên dương nên
\(\Rightarrow\sqrt{2y}=a\)
\(\Rightarrow y=2n^2\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2n^2+2-4n\\x=2n^2+2+4n\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\left(n-1\right)^2\\x=2\left(n+1\right)^2\end{cases}}\)
Vậy \(\frac{y}{2};\frac{x}{2}\)là 2 số chính phương.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 1
Từ giả thiết:
\(3x^2+x=4y^2+y\Leftrightarrow\left(3x-4y\right)^2=12x^2+12y^2-24xy+\left(x-y\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(3x-4y\right)^2=12\left(x-y\right)^2+\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left[12\left(x-y\right)+1\right]\)
Hiển nhiên ta có \(12\left(x-y\right)+1\) và \(x-y\) nguyên tố cùng nhau
Mà tích của chúng là 1 SCP \(\Rightarrow\) cả 2 số đều phải là SCP
Hay \(x-y\) là SCP
25 tháng 8 2023
Xét \(P=x^2+y^2+2x\left(y-1\right)+2y+1\)
\(P=x^2+y^2+2xy-2x+2y+1\)
+) Nếu \(y>x\) thì \(2y-2x+1>0\). Do đó \(P>\left(x+y\right)^2\). Hơn nữa:
\(P< x^2+y^2+1+2xy+2x+2y\) \(=\left(x+y+1\right)^2\),
suy ra \(\left(x+y\right)^2< P< \left(x+y+1\right)^2\), vô lí vì P là SCP.
+) Nếu \(x>y\) thì \(2y-2x+1< 0\) nên \(P< \left(x+y\right)^2\)
Hơn nữa \(P>x^2+y^2+1+2xy-2x-2y\) \(=\left(x+y-1\right)^2\)
Suy ra \(\left(x+y-1\right)^2< P< \left(x+y\right)^2\), vô lí vì P là SCP.
Vậy \(x=y\) (đpcm)
(Cơ mà nếu thay \(x=y\) vào P thì \(P=4x^2+1\) lại không phải là SCP đâu)
Lời giải:
Có \(4x^3+x=12y^3+y\)
\(\Leftrightarrow 4(x^3-y^3)+(x-y)=(2y)^3\)
\(\Leftrightarrow 4(x-y)(x^2+xy+y^2)+(x-y)=(2y)^3\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(4x^2+4xy+4y^2+1)=(2y)^3(*)\)
Giả sử $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của $x-y$ và $4x^2+4xy+4y^2+1$
Do \(4x^2+4xy+4y^2+1\) lẻ nên $p$ lẻ.
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x-y\vdots p\\ 4x^2+4xy+4y^2+1\vdots p\end{matrix}\right.(1)\). Lại có $(*)$ suy ra \((2y)^3\vdots p\Rightarrow y^3\vdots p\Rightarrow y\vdots p(2)\) (vì $p$ nguyên tố lẻ)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\vdots p\\ y\vdots p\\ 4x^2+4xy+4y^2+1\vdots p\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots p\)
Hoàn toàn vô lý vì $p$ là số nguyên tố
Tức là giữa $x-y,4x^2+4xy+4y^2+1$ không tồn tại ước nguyên tố chung, nghĩa là chúng nguyên tố cùng nhau.
Mà tích của chúng lại là một số lập phương \((2y)^3\), do đó bản thân mỗi số $x-y$ và $4x^2+4xy+4y^2+1$ cũng là một lập phương của số nguyên
Do đó ta có đpcm.