Question

[Kiều Vũ Linh]

Cho x, y nguyên dương thỏa mãn: 3x² + x = 4y² + y Chứng minh rằng x - y là số chính phương

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Từ giả thiết:

\(3x^2+x=4y^2+y\Leftrightarrow\left(3x-4y\right)^2=12x^2+12y^2-24xy+\left(x-y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-4y\right)^2=12\left(x-y\right)^2+\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left[12\left(x-y\right)+1\right]\)

Hiển nhiên ta có \(12\left(x-y\right)+1\) và \(x-y\) nguyên tố cùng nhau

Mà tích của chúng là 1 SCP \(\Rightarrow\) cả 2 số đều phải là SCP

Hay \(x-y\) là SCP