Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
F=x3+y3+2xy=(x+y)3-3xy(x+y)+2xy
=(x+y)3-xy(3x+3y-2)
=20073-xy[3.2007-2]
làm tiếp đi
chú ý \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)(bđt AM-GM)
Đầu tiên tìm GTLN, GTNN của xy.
Không mất tính tổng quát giả sử:
\(x\ge y+1\)
\(\Leftrightarrow x-y-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow x-y-1+xy\ge xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y+1\right)\ge xy\)
Từ đây ta suy được:
\(2006.1< 2005.2< 2004.3< ...< 1003.1004\)
Vậy \(min_{xy}=2006.1;max_{xy}=1003.1004\)
Ta lại có:
\(F=\left(x+y\right)^3-xy\left(3x+3y-2\right)\)
Thế vô là xong
Bài 2. a/ \(1\le a,b,c\le3\) \(\Rightarrow\left(a-1\right).\left(a-3\right)\le0\) , \(\left(b-1\right)\left(b-3\right)\le0\), \(\left(c-1\right).\left(c-3\right)\le0\)
Cộng theo vế : \(a^2+b^2+c^2\le4a+4b+4c-9\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{a^2+b^2+c^2+9}{4}=7\)
Vậy min E = 7 tại chẳng hạn, x = y = 3, z = 1
b/ Ta có : \(x+2y+z=\left(x+y\right)+\left(y+z\right)\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
Tương tự : \(y+2z+x\ge2\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) , \(z+2y+x\ge2\sqrt{\left(z+y\right)\left(y+x\right)}\)
Nhân theo vế : \(\left(x+2y+z\right)\left(y+2z+x\right)\left(z+2y+x\right)\ge8\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\) hay
\(\left(x+2y+z\right)\left(y+2z+x\right)\left(z+2y+x\right)\ge64\)
Giả sử \(y\) là số lẻ
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y=m^2\\x^2+y=n^2\end{matrix}\right.\left(m,n\inℕ;m< n\right)\)
\(\Rightarrow2y=n^2-m^2\) \(\Rightarrow n^2-m^2\) chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4.
Thế nhưng, ta thấy \(n^2\) và \(m^2\) khi chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1, vậy nên \(n^2-m^2\) khi chia cho 4 sẽ chỉ có số dư là \(0,1,-1\), nghĩa là nếu \(n^2-m^2\) mà chia hết cho 2 thì buộc hiệu này phải chia hết cho 4, mâu thuẫn. Vậy điều giả sử là sai \(\Rightarrow\) đpcm.