cho a,b >0. cm : 1/2a + 1/2b >=2/a+b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 11 2017
Cho mình hỏi, phân thức cuối cùng của câu a phải là \(\frac{1}{c+2a+b}\)chứ
VM
20 tháng 1 2020
Bài 1 bạn tham khảo tại đây nhé:
Tim x,y,z thoa man : x^2 +5y^2 -4xy +10x-22y +Ix+y+zI +26 = 0 ...
Chúc bạn học tốt!
M
1
12 tháng 11 2018
\(A\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{2a+b+a+2b}=\frac{4}{3\left(a+b\right)}=\frac{4}{3.16}=\frac{1}{12}\) ( Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=8\)
HD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 3 2019
Với các số dương, áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\ge\frac{4}{a+2b+c}\) ; \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{4}{2a+b+c}\); \(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{4}{a+b+2c}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge4\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\ge2\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
DA
1
G
11 tháng 3 2019
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz
\(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)
\(\frac{1}{a+2b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(\frac{1}{a+b+2c}=\frac{1}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
Cộng theo vế =>đpcm
NY
26 tháng 8 2020
Ta có :
\(a^2b+b^2c+c^2a\ge\frac{9a^2b^2c^2}{1+2a^2b^2c^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(1+2a^2b^2c^2\right)\ge9a^2b^2c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+2a^4b^3c^2+2a^2b^4c^{3v}+2a^3b^2c^4\ge3a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\)(*)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2b+a^4b^3c^2+a^3b^2c^4\ge3\sqrt[3]{a^9b^6c^6}=3a^3b^2c^2\)
\(b^2c+a^2b^4c^3+a^4b^3c^2\ge3a^2b^3c^2\)
\(c^2a+a^3b^2c^4+a^2b^4c^4\ge3a^2b^2c^3\)
Cộng theo vế
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+2a^4b^3c^2+2a^2b^4c^3+2a^3b^2c^4\ge3a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\)
Vậy $(*)$ đúng
Do đó ta có đpcm
#Cừu
MN
1
17 tháng 2 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có: \(\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2a+b+2b+c+2c+a}=\frac{9}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{a+b+c}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{2b+c}=\frac{1}{2c+a}\Leftrightarrow2a+b=2b+c=2c+a\)
Ta có :
\(\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
mà a,b>0
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}\ge\dfrac{2}{a+b}\)
A/p bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel có:
\(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{2a+2b}=\dfrac{4}{2\left(a+b\right)}=\dfrac{2}{a+b}\left(đpcm\right)\)