Cho 2 số thực dương x,y,z thảo mãn : xyz=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
\(P=\sum\dfrac{1}{\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 4 2022
\(\dfrac{xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}=\dfrac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 5 2022
Lời giải:
Sửa: $x^2\geq y^2+z^2$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$P\geq \frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{7x^2}{2}.\frac{4}{y^2+z^2}+2007$
$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{14x^2}{y^2+z^2}+2007$
$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$
$\geq 2+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$ (áp dụng BĐT Cô-si)
$\geq 2+13+2007=2022$ (do $x^2\geq y^2+z^2$)
Vậy $P_{\min}=2022$
26 tháng 4 2020
\(E= {\sum {(yz)^2 \over xy+zx}}\)>=3/2 (AD BĐT Nesbit)
Dấu = xảy ra <=>x=y=z=1
26 tháng 4 2020
đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow abc=\frac{1}{xyz}=1\)
Ta có : \(x+y=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=c\left(a+b\right)\)
Tương tự : \(y+z=a\left(b+c\right);x+z=b\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow E=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow E\ge\frac{3}{2}\)
Vậy GTNN của E là \(\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
PN
8 tháng 1 2021
chia cả 2 vế của giả thiết cho xyz rồi đặt 1/x ; 1/y ; 1/z => a ; b ; c
đến đây thì tự làm tiếp đi
Hi anh trai, nhớ em là ai chứ :))
Áp dụng BĐT AM - GM: \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
\(P=\Sigma\dfrac{1}{\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x}\) \(=\Sigma\dfrac{1}{3x\left(y+z\right)+x+y+z}\)
\(\Rightarrow P\le\Sigma\dfrac{1}{3x\left(y+z\right)+3}\)
\(\Leftrightarrow3P\le\Sigma\dfrac{1}{x\left(y+z\right)+1}\)
Chia cả hai vế cho \(xyz=1\)
\(\Leftrightarrow3P\le\Sigma\dfrac{1}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+1}\)
Đặt \(a=\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^3}},b=\sqrt[3]{\dfrac{1}{y^3}},c=\sqrt[3]{\dfrac{1}{z^3}}\)
\(\Rightarrow a.b.c=1\)
\(\Rightarrow3P\le\Sigma\dfrac{1}{a^3+b^3+1}\)
Mặt khác: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)
Nhân cả hai vế cho \(a+b\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b\right)+1=ab\left(a+b\right)+abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow3P\le\Sigma\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=1\)
\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{3}\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)