\(\dfrac{xyz}{...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
8 tháng 4 2022

\(\dfrac{xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}=\dfrac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 2 2019

Lời giải:

Từ \(x+y-z=-1\Rightarrow z-x-y=1\)

Ta có các biến đổi sau:

\(x+yz=x(z-x-y)+yz=x(z-x)+y(z-x)=(x+y)(z-x)\)

\(=(x+y)(y+1)\)

\(y+zx=y(z-x-y)+zx=y(z-y)+x(z-y)=(y+x)(z-y)\)

\(=(y+x)(x+1)\)

\(z+xy=z(z-x-y)+xy=(z-x)(z-y)=(x+1)(y+1)\)

Khi đó:\(P=\frac{x^3y^3}{(x+y)^2(x+1)^3(y+1)^3}(*)\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

\((x+y)^2\geq 4xy\)

\(x+1=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+1\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^2}{4}}\Rightarrow (x+1)^3\geq \frac{27x^2}{4}\)

\(y+1\geq 3\sqrt[3]{\frac{y^2}{4}}\Rightarrow (y+1)^3\geq \frac{27y^2}{4}\) (tương tự ở trên)

\(\Rightarrow (x+y)^2(x+1)^3(y+1)^3\geq \frac{729}{4}x^3y^3(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow P\leq \frac{x^3y^3}{\frac{729}{4}x^3y^3}=\frac{4}{279}\Rightarrow P_{\max}=\frac{4}{729}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=2; z=5\)

7 tháng 4 2016

Ta có \(2\left(x+y\right)=z\left(xy-7\right)\), do x,y,z là các số dương  nên xy-7>0.

Khi đó, từ giả thiết ta được : \(z=\frac{2\left(x+y\right)}{xy-7}\)

Suy ra \(S=f\left(x;y\right)=2x+y+\frac{4\left(x+y\right)}{xy-7}\) với điều kiện \(x>0;y>0,xy>7\) (*)

Với mỗi x cố định, xét đạo hàm của hàm số \(f\left(x;y\right)\) theo ẩn y ta được :

\(f'_y\left(x;y\right)=1+\frac{4\left(xy-7\right)-4x\left(x+y\right)}{\left(xy-7\right)^2}=1-\frac{28+4x^2}{\left(xy-7\right)^2}\)

\(f'_y\left(x;y\right)=0\Leftrightarrow x^2y^2-14xy+21-4x^2=0\)

             \(\Leftrightarrow y_0=\frac{7}{x}+2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\)

Suy ra \(f\left(x;y_0\right)=2x+\frac{11}{x}+4\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\)

Xét hàm số : \(g\left(x\right)=2x+\frac{11}{x}+4\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\) với x>0, với \(g'\left(x\right)=2-\frac{11}{x^2}-\frac{28}{x^3\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}}\)

\(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=3\)

Khi đó \(g\left(x\right)\ge g\left(3\right)\Leftrightarrow g\left(x\right)\ge15\)

Với điều kiện (*), ta có \(S\ge f\left(x;y_0\right)=g\left(x\right)\ge15\)

Vậy MinS=15 khi x=3, y=5, z=2