cho x,y là các số thực thỏa mãn x>2 và x+y >3 tìm gtnn của p=x^2+y^2+1/x+1/x+y
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 5 2022
\(x,y,z>0\)
Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)
\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)
\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:
\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)
\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(P_{min}=0\)
19 tháng 7 2021
Theo đề bài, ta có:
\(x^3+y^3=x^2-xy+y^2\)
hay \(\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-xy+y^2=0\\x+y=1\end{cases}}\)
+ Với \(x^2-xy+y^2=0\Rightarrow x=y=0\Rightarrow P=\frac{5}{2}\)
+ với \(x+y=1\Rightarrow0\le x,y\le1\Rightarrow P\le\frac{1+\sqrt{1}}{2+\sqrt{0}}+\frac{2+\sqrt{1}}{1+\sqrt{0}}=4\)
Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=1;y=0 và \(P\ge\frac{1+\sqrt{0}}{2+\sqrt{1}}+\frac{2+\sqrt{0}}{1+\sqrt{1}}=\frac{4}{3}\)
Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=0;y=1
Vậy max P=4 và min P =4/3
2 tháng 4 2020
Trả lời:
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwarz ta có:
(3+1)(3x2+y2)≥(3x+y)2
⇒4(3x2+y2)≥(3x+y)2⇒4(3x2+y2)≥(3x+y)2
⇒4(3x2+y2)≥(3x+y)2=12=1⇒4(3x2+y2)≥(3x+y)2=12=1
⇒M=3x2+y2≥14⇒M=3x2+y2≥14
Đẳng thức xảy ra khi x=y=14
2 tháng 4 2020
Ta có: x + y = 1 => y = 1 - x
Khi đó: P = \(x^3+y^3+2x^2y^2=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+2\left(xy\right)^2\)
\(=2\left(xy\right)^2-3xy+1=2\left[\left(xy\right)^2-2.xy.\frac{3}{4}+\frac{9}{16}\right]-\frac{1}{8}\)
\(=2\left(xy-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{1}{8}\)
\(=2\left[x\left(1-x\right)-\frac{3}{4}\right]^2-\frac{1}{8}\)
\(=2\left[-x^2+x-\frac{3}{4}\right]^2-\frac{1}{8}\)
\(=2\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\right]^2-\frac{1}{8}\ge\frac{3}{8}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y =1/2
LM
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 4 2021
\(Q=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy\)
\(Q=8-6xy+4-2xy=12-8xy\)
\(Q=12-8x\left(2-x\right)=12-16x+8x^2=8\left(x-1\right)^2+4\ge4\)
\(Q_{min}=4\) khi \(x=y=1\)
30 tháng 5 2020
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
M
5
9 tháng 2 2019
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
\(\Rightarrow1\ge2xy\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge xy\)
Có \(x+y\ge2\sqrt{xy}\ge2\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
Vậy \(Min_{x+y}=\sqrt{2}\)
Làm tương tự với max
9 tháng 2 2019
Thêm đk: x,y>0
Tìm max:
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:
\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\ge x+y\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
KL:...............................
TH
0