cho a+b > 1 CMR a^4+b^4>1/8
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
C
7 tháng 4 2017
ta có: a+b=1 => (a+b)2=1
a2+2ab+b2=1 (1)
Mặt khác: (a-b)2\(\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\) (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế:
2(a2+b2) > 1
a2+b2> \(\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^4+2a^2b^2+b^4>\dfrac{1}{4}\) (3)
\(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\) (4)
cộng (3) và (4) vế theo vế:
2(a4+b4) >\(\dfrac{1}{4}\)
=> \(a^4+b^4>\dfrac{1}{8}\left(đpcm\right)\)
NV
1
NA
0
DH
1
A
3
18 tháng 8 2016
Ta có : \(a^2+b^2+2ab>1\)
Lại có \(a^2-2ab+b^2\ge0\)
Cộng hai vế bđt trên được \(2\left(a^2+b^2\right)>1\Rightarrow a^2+b^2>\frac{1}{2}\)
\(a^4+2a^2b^2+b^4>\frac{1}{4}\)
Lại có : \(a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\)
Cộng hai vế bđt trên được \(2\left(a^4+b^4\right)>\frac{1}{4}\Rightarrow a^4+b^4>\frac{1}{8}\)
18 tháng 8 2016
Tương tự ta được:
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab,a+b=1\)
\(\Rightarrow ab< \frac{1}{4}\Rightarrow a^2b^2< \frac{1}{16}\)
Mặt khác \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\Rightarrow a^4+b^4>2.\frac{1}{16}=\frac{1}{8}\)
UI
20 tháng 10 2019
a) \(a^2+b^2=a^2+\frac{1}{4}+b^2+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\)
\(\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{4}}+2\sqrt{b^2.\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\) (bdt cosi)
\(=a+b-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\) (vi a+b=1)
dau = xay ra <=> a=b=1/2
chuc ban hoc tot
mik phai di ngu nen lam hoi tat mong bn thong cam
phan b bn lam tuong tu nha
21 tháng 10 2019
1/ Ta có:
\(\left(a-b\right)^2\ge0,\) mọi a, b
<=> \(a^2-2ab+b^2\ge0\)
<=> \(2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)
<=> \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
<=> \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu bằng xảy ra <=> a - b = 0 <=> a = b.
2/ Dựa vào câu 1.
\(a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}=\frac{1}{8}\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 10 2019
\(P=8\left(a^4+b^4\right)+\frac{8}{ab}\ge\frac{8\left(a^2+b^2\right)^2}{2}+\frac{32}{\left(a+b\right)^2}\)
\(P\ge4\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2+32=1+32=33\)
\(\Rightarrow P\ge33\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bạn ghi nhầm đề thì phải
Ta có : \(a+b>1>0\) (1)
Bình phương hai vế: \(\left(a+b\right)^2>1\Rightarrow a^2+2ab+b^2>1\left(2\right)\)
Mặt khác : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\left(3\right)\)
Cộng từng vế của (2) và (3): \(2\left(a^2+b^2\right)>1\Rightarrow a^2+b^2>\dfrac{1}{2}\left(4\right)\)
Bình phương hai vế của (4) : \(a^4+2a^2b^2+b^4>\dfrac{1}{4}\left(5\right)\)
Mặt khác \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Rightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\left(6\right)\)
cộng từng vế của (5) và (6) : \(2\left(a^4+b^4\right)>\dfrac{1}{4}\Rightarrow a^4+b^4>\dfrac{1}{8}\)(đpcm)
Cm được x² +y² ≥ (x+y)²/2
<=> x² +y² ≥ 1/2(x² +y²) + xy
<=> 1/2(x² +y²) -xy ≥ 0
<=> 1/2(x-y)² ≥ 0 ( luôn đúng )
vậy x² + y² ≥ (x+y)²/2 = 1/2
tương tự thì x^4 + y^4 ≥ (x² +y²)²/2 ≥ (1/2)²/2 = 1/8
vậy x^4 + y^4 ≥ 1/8
dấu = xảy ra <=> x=y=1/2