cho x∈R , 0≤x≤1 . tim min,max cua P =\(\dfrac{x^2}{2-x^2}+\dfrac{1-x^2}{1+x^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 5 2021
Câu 1:
$A+2=\frac{2}{2-x^2}+\frac{2}{x^2+1}=2(\frac{1}{2-x^2}+\frac{1}{x^2+1})$
$\geq 2.\frac{4}{2-x^2+x^2+1}=\frac{8}{3}$ (áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz)
$\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}$
Vậy $A_{\min}=\frac{2}{3}$ khi $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Mặt khác:
\(A-1=\frac{2(x^2-1)}{2-x^2}+\frac{1-x^2}{1+x^2}=\frac{3x^2(x^2-1)}{(2-x^2)(x^2+1)}\leq 0\) với mọi $0\leq x\leq 1$
$\Rightarrow A\leq 1$
Vậy $A_{\max}=1$ khi $x=0$ hoặc $x=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 5 2021
Lời giải:
Gọi cạnh hình vuông là $a$
a) Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông sau:
Tam giác $ADM$: $AM=\sqrt{AD^2+DM^2}=\sqrt{a^2+(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$
$AH=\sqrt{AB^2+BH^2}=\sqrt{a^2+(\frac{a}{3})^2}=\frac{\sqrt{10}}{3}a(1)$
$AB\parallel DM$ nên theo định lý Talet:
$\frac{AN}{NM}=\frac{AB}{DM}=2$
$\Rightarrow \frac{AN}{AM}=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow AN=\frac{\sqrt{5}}{3}a(2)$
Mặt khác:
$\frac{BN}{DN}=\frac{AB}{DM}=2=\frac{BK}{KC}$ nên $NK\parallel DC$ (theo Talet đảo)
$\Rightarrow NK\perp BC$
$\frac{NK}{DC}=\frac{BK}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow NK=\frac{2}{3}a$
Áp dụng định lý Pitago: $NH=\sqrt{NK^2+KH^2}=\sqrt{(\frac{2}{3}a)^2+(\frac{a}{3})^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}a(3)$
Từ $(1);(2);(3)$ kết hợp Pitago đảo suy ra $ANH$ vuông cân tại $N$.
b)
Cho $AC$ cắt $NK$ tại $Q$
Theo định lý Talet:
$\frac{NQ}{MC}=\frac{AQ}{AC}=\frac{BK}{BC}=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow \frac{NQ}{a}=\frac{1}{3}(4)$
$\frac{QK}{a}=\frac{QK}{AB}=\frac{KC}{BC}=\frac{1}{3}(5)$
Từ $(4);(5)\Rightarrow \frac{NQ}{a}=\frac{QK}{a}$
$\Rightarrow NQ=QK$ nên $Q$ là trung điểm $NK$
Do đó ta có đpcm.
RX
1. Cho x,y > 0 .Tim GTNN cua A = \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{4y^2}{x^2}-\dfrac{x}{y}-\dfrac{2y}{y}+1\)
0
E
25 tháng 12 2018
Vì 3 ≤ x ≤ 7 => x - 3 ≥ 0; 7 - x ≥ 0
=> C ≥ 0
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 3 hoặc x = 7
C = (x - 3)(7 - x) ≤ \(\dfrac{1}{4}\)(x - 3 + 7 - x)2 = \(\dfrac{1}{4}\).42 = 4
Dấu "=" xảy ra <=> x - 3 = 7 - x <=> x = 5
E
25 tháng 12 2018
\(G=\left(x^2+\sqrt[3]{3}\right)+\left(\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)-\sqrt[3]{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}\ge2\sqrt{x^2.\sqrt[3]{3}}+3\sqrt[3]{\dfrac{2}{x^3}.\dfrac{2}{\sqrt{3}}.\dfrac{2}{\sqrt{3}}}-\sqrt[3]{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}=2\sqrt[6]{3}.x+\dfrac{6}{\sqrt[3]{3}x}-\sqrt[3]{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}\ge2\sqrt{2\sqrt[6]{3}.x.\dfrac{6}{\sqrt[3]{3}x}}-\sqrt[3]{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}=2\sqrt{\dfrac{12\sqrt[6]{3}}{\sqrt[3]{3}}}-\sqrt[3]{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=\sqrt[6]{3}\)
HT
0
NT
2
21 tháng 7 2018
Bài 1 dùng tam thức bậc 2, bài 2 chia cả tử và mẫu cho y2, đặt x/y=t rồi làm tương tự bài 1
17 tháng 4 2022
1. 1/x + 2/1-x = (1/x - 1) + (2/1-x - 2) + 3
= 1-x/x + (2-2(1-x))/1-x + 3
= 1-x/x + 2x/1-x + 3 >= 2√2 + 3
Dấu "=" xảy ra khi x =√2 - 1
17 tháng 4 2022
2. a = √z-1, b = √x-2, c = √y-3 (a,b,c >=0)
=> P = √z-1 / z + √x-2 / x + √y-3 / y
= a/a^2+1 + b/b^2+2 + c/c^2+3
a^2+1 >= 2a => a/a^2+1 <= 1/2
b^2+2 >= 2√2 b => b/b^2+2 <= 1/2√2
c^2+3 >= 2√3 c => c/c^2+3 <= 1/2√3
=> P <= 1/2 + 1/2√2 + 1/2√3
Dấu = xảy ra khi a^2 = 1, b^2 = 2, c^2 =3
<=> z-1 = 1, x-2 = 2, y-3 = 3
<=> x=4, y=6, z=2
PM
21 tháng 7 2018
# Bài 1
* Ta cm BĐT sau \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\) (1) bằng cách biến đổi tương đương
* Với \(x,y>0\) áp dụng (1) ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{y}\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\)
Mà \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\le1\) \(\Leftrightarrow\) \(0< \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\le1\) (I)
* Ta cm BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) với \(a,b>0\) (2)
Áp dụng (2) với x , y > 0 ta có
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\ge\dfrac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\) (II)
* Từ (I) và (II) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\le1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge4\)
Dấu "=" xra khi \(x=y=4\)
Vậy min \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\) khi \(x=y=4\)
\(P=\dfrac{x^2}{2-x^2}+\dfrac{1-x^2}{1+x^2}\)
\(P+2=\dfrac{x^2}{2-x^2}+1+\dfrac{1-x^2}{1+x^2}+1\)
\(P+2=\dfrac{2}{2-x^2}+\dfrac{2}{1+x^2}\)
\(P+2=2\cdot\left(\dfrac{1}{2-x^2}+\dfrac{1}{1+x^2}\right)\)
\(P+2\ge2\cdot\dfrac{4}{2-x^2+1+x^2}=2\cdot\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}\)(AM-GM)
\(P\ge\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow MINP=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)(thỏa đk)
x^2 =t => 0<=t<=1
\(P=\dfrac{t}{2-t}+\dfrac{1-t}{1+t}=\dfrac{2-\left(2-t\right)}{2-t}+\dfrac{2-\left(t+1\right)}{1+t}\)
\(P=\dfrac{2}{2-t}-1+\dfrac{2}{1+t}-1\)
\(\dfrac{P}{2}+1=\dfrac{1}{2-t}+\dfrac{1}{1+t}=1+t+2-t=\dfrac{3}{\left(2-t\right)\left(1+t\right)}\)
\(\dfrac{P}{2}+1=\dfrac{3}{2+t-t^2}=\dfrac{3}{2+\dfrac{1}{4}-\left(\dfrac{1}{2}-t\right)^2}=\dfrac{3}{\dfrac{9}{4}-\left(\dfrac{1}{2}-t\right)^2}\ge\dfrac{3}{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{4}{3}\)
\(\dfrac{P}{2}+1\ge\dfrac{4}{3}\Rightarrow P\ge2\left(\dfrac{4}{3}-1\right)=\dfrac{2}{3}\)
khi \(t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2};x\in\left[0;1\right]\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) thủaman
GTNN P =2/3