K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

13 tháng 5 2023

usechatgpt init success là gì vậy bạn :))?

\(x^2+y^2-xy=4\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x-y\right)^2=4\)

\(\Rightarrow P=8-\left(x-y\right)^2\le8\)

\(MaxP=8\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-xy=4\\x-y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\pm2\)

\(x^2+y^2-xy=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)-\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow4=\dfrac{3}{2}P-\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{8+\left(x+y\right)^2}{3}\ge\dfrac{8}{3}\)

\(MinP=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-xy=4\\x+y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\\y=\mp\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right.\)

14 tháng 5 2023

:v ẹc, vậy thôi khỏi dùng ik, lên đây đăng bài mình giải giúp cho.

18 tháng 3 2023

\(A=\dfrac{2\left(x^3+y^3\right)}{\left(x^4+y^2\right)\left(x^2+y^4\right)}=2.\dfrac{\left(x^3+y^3\right)}{x^4y^4+x^2y^2+x^6+y^6}\)

\(=2.\dfrac{\left(x^3+y^3\right)}{1+1+x^6+y^6}=2.\dfrac{x^3+y^3}{x^6+y^6+2x^3y^3}=2.\dfrac{x^3+y^3}{\left(x^3+y^3\right)^2}=\dfrac{2}{x^3+y^3}\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(x^3+y^3+1\ge3\sqrt{xy.1}=3\)

\(\Rightarrow x^3+y^3\ge2\Rightarrow\dfrac{2}{x^3+y^3}\le1\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow A\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1.

Vậy MaxA là 1, đạt được khi x=y=1.

 

 

19 tháng 3 2023

Thanks!

NV
22 tháng 1

\(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2=2-xy\)

\(\Rightarrow2-xy\ge0\)

\(\Rightarrow xy\le2\)

\(A_{max}=2\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right);\left(-1;-2\right)\)

NV
19 tháng 1

Đề bài sai, đề đúng thì phân thức đằng sau dấu chia phải là:

\(\dfrac{4x^4+4x^2y+y^2-4}{x^2+y+xy+x}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 4 2022

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy})(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1+2)^2=16$

$\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\geq \frac{16}{(x+y)^2}=16$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{2}{xy}\geq 8$

Cộng 2 BĐT trên lại:

$P\geq 16+8=24$

Vậy $P_{\min}=24$ khi $x=y=\frac{1}{2}$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 4 2022

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy})(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1+2)^2=16$

$\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\geq \frac{16}{(x+y)^2}=16$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{2}{xy}\geq 8$

Cộng 2 BĐT trên lại:

$P\geq 16+8=24$

Vậy $P_{\min}=24$ khi $x=y=\frac{1}{2}$

16 tháng 3 2022

Theo bđt Cauchy schwarz dạng Engel 

\(P\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{1+1}=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]^2}{2}\)

Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(bđt phụ) 

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left[2.1+4\right]^2}{2}=\frac{36}{2}=18\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

NV
16 tháng 3 2022

\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+\dfrac{1}{x}+2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+2y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=18\)

\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)