Chứng minh rằng :
\(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2000}}}< 3}\)
Mọi người giải giúp mình nha.Thanks
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Vì $a\geq 1$ nên:
\(a+\sqrt{a^2-2a+5}+\sqrt{a-1}=a+\sqrt{(a-1)^2+4}+\sqrt{a-1}\)
\(\geq 1+\sqrt{4}+0=3\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=1$
Bài 2:
ĐKXĐ: x\geq -3$
Xét hàm:
\(f(x)=x(x^2-3x+3)+\sqrt{x+3}-3\)
\(f'(x)=3x^2-6x+3+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=3(x-1)^2+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}>0, \forall x\geq -3\)
Do đó $f(x)$ đồng biến trên TXĐ
\(\Rightarrow f(x)=0\) có nghiệm duy nhất
Dễ thấy pt có nghiệm $x=1$ nên đây chính là nghiệm duy nhất.
ta có: \(\sqrt{2000}< 2001\Rightarrow\sqrt{1999.\sqrt{2000}}< \sqrt{1999.2001}< \dfrac{1999+2001}{2}=2000\)
(áp dụng BĐT AM-GM)
lấy tương tự như trên ta có:
\(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...........\sqrt{1999\sqrt{2000}}}}}\)< \(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4.............\sqrt{1999.2001}}}}\)
< \(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4....\sqrt{1998.2000}}}}........< \sqrt{2.4}< 3\)(ĐPCM)
thanks bạn