K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

5 tháng 6 2017

Giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{u}{v}=\dfrac{x-u}{y-v}\)

\(\Rightarrow x\left(y-v\right)=y\left(x-u\right)\)

Mà x > y

\(\Rightarrow y-v< x-u\)

\(\Rightarrow x+v>y+u\left(đpcm\right)\)

Vậy...

5 tháng 6 2017

ta có:\(x>y>u>v\)

\(\Rightarrow x^2>y^2>u^2>v^2\)

giả sử x+v>y+u là đúng

\(\Rightarrow\left(x+v\right)^2>\left(y+u\right)^2\\ \Leftrightarrow x^2+v^2+2xv>y^2+u^2+2yu\\ \Leftrightarrow x^2-y^2+v^2-u^2>2\left(yu-xv\right)\\ \Leftrightarrow x^2-x^2+u^2-u^2>2\left(yu-xv\right)\\ \Leftrightarrow yu-xv=0\\ \Leftrightarrow yu=xv\\ \Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{u}{v}\left(đúng\right)\)

do đó: \(x+v>y+u\) đúng.

30 tháng 3 2017

x là số tự nhiên hay số nguyên.

30 tháng 3 2017

là số tự nhiên nhé

13 tháng 4 2023

 Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số thực dương \(xy,yz,zx\), ta có \(xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\). Do \(xy+yz+zx=3xyz\) nên\(3xyz\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\) \(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\left(\sqrt[3]{xyz}-1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\sqrt[3]{xyz}\ge1\) \(\Leftrightarrow xyz\ge1\)

ĐTXR \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=yz=zx\\xy+yz+zx=3xyz\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Ta có \(\dfrac{x}{1+y^2}=\dfrac{x\left(1+y^2\right)-xy^2}{1+y^2}=x-\dfrac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\dfrac{xy^2}{2y}\)\(=x-\dfrac{xy}{2}\)

Tương tự, ta có \(\dfrac{y}{1+z^2}\ge y-\dfrac{yz}{2}\) và \(\dfrac{z}{1+x^2}\ge z-\dfrac{zx}{2}\). Từ đó suy ra \(\dfrac{x}{1+y^2}+\dfrac{y}{1+z^2}+\dfrac{z}{1+x^2}\ge x+y+z-\dfrac{xy+yz+zx}{2}\) \(=x+y+z-\dfrac{3}{2}xyz\) . Từ đây suy ra \(Q\ge x+y+z\ge\sqrt[3]{xyz}\ge1\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy GTNN của \(Q\) là \(1\) đạt được khi \(x=y=z=1\)

14 tháng 4 2023

 Dạ thưa thầy, chỗ kia con sửa là \(Q\ge x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\ge3\) ạ. GTNN của Q là 3 khi \(x=y=z=1\)

31 tháng 8 2017

Đặt \(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{z}{3}=k\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=5k\\y=7k\\z=3k\end{matrix}\right.\)

Mà x2+y2-z2 = 585 => 25k2 + 49k2 - 9k2 = 65k2 => k2 = 9 => k = \(\pm\)3

Với k = 3 => \(\left\{{}\begin{matrix}x=15\\y=21\\z=9\end{matrix}\right.\) hay x+y+z = 45

Với k = -3 => \(\left\{{}\begin{matrix}x=-15\\y=-21\\x=-9\end{matrix}\right.\)hay x+y+z = -45

1 tháng 9 2017

mơn bạn nha <3

AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 5 2018

Bài 1:
Vì $x+y+z=1$ nên:

\(Q=\frac{x}{x+\sqrt{x(x+y+z)+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y(x+y+z)+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{z(x+y+z)+xy}}\)

\(Q=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\sqrt{(x+y)(x+z)}=\sqrt{(x+y)(z+x)}\geq \sqrt{(\sqrt{xz}+\sqrt{xy})^2}=\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế suy ra:

\(Q\leq \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+ \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+ \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

Vậy $Q$ max bằng $1$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 5 2018

Bài 2:
Vì $x+y+z=1$ nên:

\(\text{VT}=\frac{1-x^2}{x(x+y+z)+yz}+\frac{1-y^2}{y(x+y+z)+xz}+\frac{1-z^2}{z(x+y+z)+xy}\)

\(\text{VT}=\frac{(x+y+z)^2-x^2}{(x+y)(x+z)}+\frac{(x+y+z)^2-y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{(x+y+z)^2-z^2}{(z+x)(z+y)}\)

\(\text{VT}=\frac{(y+z)[(x+y)+(x+z)]}{(x+y)(x+z)}+\frac{(x+z)[(y+z)+(y+x)]}{(y+z)(y+x)}+\frac{(x+y)[(z+x)+(z+y)]}{(z+x)(z+y)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}\geq \frac{2(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}}{(x+y)(x+z)}+\frac{2(x+z)\sqrt{(y+z)(y+x)}}{(y+z)(y+x)}+\frac{2(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}}{(z+x)(z+y)}\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq 2\underbrace{\left(\frac{y+z}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{x+z}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{x+y}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\right)}_{M}\)

Tiếp tục AM-GM cho 3 số trong ngoặc lớn, suy ra \(M\geq 3\)

Do đó: \(\text{VT}\geq 2.3=6\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $3x=3y=3z=1$

15 tháng 9 2017

nguyen van tuan

16 tháng 9 2017

Bài này là tớ đăg lên ! Nhưg hôm nay thầy tớ giải rồi! Tớ đăg lời giải lên đây cho mấy bạn tham khảo ạ! ko kiếm GP nhá!

Câu 1 :

Vì x > y \(\Rightarrow\) \(x-y>0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{2}.\left(x-y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y\ge0\)

\(xy=1\Rightarrow x^2+y^2+\left(\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y-2xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-2\sqrt{2}\right)^2\ge0\)

Đúng với mọi x; y

Câu 2:

\(a^3+b^3+ab\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^3\right)+ab-\dfrac{1}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2+ab-\dfrac{1}{2}\ge0\) ( vì a+b = 1 )

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-\dfrac{1}{2}\ge0\)

\(a+b=1\Rightarrow b=1-a\)

\(\Rightarrow a^2+\left(1-a\right)^2-\dfrac{1}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+1-2a+a^2-\dfrac{1}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2-2a+\dfrac{1}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow4a^2-4a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2\ge0\)

Đúng với mọi a;b

Dấu "=" xảy ra khi

\(2a-1=0\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\Rightarrow b=\dfrac{1}{2}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 4 2018

Lời giải:

Ta có:

\(\text{VT}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}=\frac{x+y}{xy}\sqrt{1+x^2y^2}=\frac{\sqrt{1+x^2y^2}}{xy}\)

Giờ thì biến đổi tương đương thôi. Ta có:

\(\text{VT}\geq \sqrt{17}\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{1+x^2y^2}}{xy}\geq \sqrt{17}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1+x^2y^2}{x^2y^2}\geq 17\) (do \(x,y\) dương)

\(\Leftrightarrow 1+x^2y^2\geq 17x^2y^2\Leftrightarrow 1\geq 16x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow (1-4x)(1+4xy)\geq 0\)

BĐT trên luôn đúng do $x,y>0$ và theo BĐT AM-GM thì:

\(1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\Rightarrow 1-4xy\geq 0\)

Do đó ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

28 tháng 4 2018

ồ tks ạ