Cho x + 4y =1
CMR : \(x^2+4y^2>\dfrac{1}{5}\)
#Chú ý : '' > '' có nghĩa là lớn hơn hoặc bằng nha !!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
DT
1
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 7 2018
Bài 1 :
Ta có : \(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{2}{b^2+3ab}=\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\)
Theo BĐT Cô - Si dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{3a^2+6ab+3b^2}=\dfrac{9}{3\left(a+b\right)^2}=\dfrac{9}{3.1}=3\)
Dấu \("="\) xảy ra khi : \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
NN
18 tháng 5 2017
Đề phải là CMR: \(x^2+4y^2\ge0,2\) nha bạn.
Giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: \(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
(Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\))
Áp dụng vào bài toán ta có:
\(\left(x+4y\right)^2=\left(1.x+2.2y\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x^2+4y^2\right)=5\left(x^2+4y^2\right)\)
Mà \(x+4y=1\) nên \(x^2+4y^2\ge\frac{1}{5}=0,2\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{1}=\frac{2y}{2}=y\\x+4y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{5}\)
18 tháng 5 2017
Áp dụng Bunhia...
\(\left(1.x+2.2y\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x^2+4y^2\right).\)
\(1\le5.\left(x^2+4y^2\right).\Leftrightarrow x^2+4y^2\ge\frac{1}{5}=0,2\)
10 tháng 7 2017
1) Đặt \(\dfrac{b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}}{ab}\) là A
\(\)\(A=\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-1}}{b}\)
\(\left(\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}\right)^2=\dfrac{a-1}{a^2}=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}=\sqrt{\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{b-1}}{b}=\sqrt{\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{1}{b}-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(\sqrt{\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a}+\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{1}{b}-1\right)}\le\dfrac{1}{2}\)
Cộng vế theo vế của 2 BĐT vừa chứng minh, ta được:
\(A\le1\left(đpcm\right)\)
11 tháng 7 2017
Xét: \(a^2+\dfrac{2}{a^3}=\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{a^3}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 5 số dương trên, ta có: \(\left(1\right)\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{a^3}.\dfrac{1}{a^3}}=5\sqrt[5]{\dfrac{1}{27}}=\dfrac{5\sqrt[5]{9}}{3}\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{3}a^2=\dfrac{1}{a^3}\Leftrightarrow a=\sqrt[5]{3}\)
DN
11 tháng 4 2016
vì x+4y=1 nên x=1-4y (1)
ta có : x^2+4y^2≥1/5
=> x^2+4y^2-1/5 ≥0 (2)
thay (1) vào (2) ta có:(1-4y)^2+4y^2-1/5 ≥ 0
<=>1-8y +16y^2 + 4y^2 - 1/5 ≥ 0
<=>20y^2 - 8y + 4/5 ≥ 0
<=>5(4y^2 - 8/5y + 4/25) ≥ 0
<=>5(2y-8/20)^2 ≥ 0 (luôn đúng)
Vậy với x+4y=1 thì x^2+4y^2≥1/5 ;dấu = xảy ra khi x=y=1/5
TT
1
21 tháng 4 2018
áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có
\(\left(1+2^2\right)\left(x^2+4y^2\right)\ge\left(x+4y\right)^2\)
<=> \(5\left(x^2+4y^2\right)\ge1\)
<=> \(x^2+4y^2\ge\dfrac{1}{5}\) (đpcm)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+2^2\right)\left(x^2+4y^2\right)\ge\left(x+4y\right)^2\)
\(\Rightarrow5\left(x^2+4y^2\right)\ge\left(x+4y\right)^2\)
\(\Rightarrow5\left(x^2+4y^2\right)\ge1^2=1\)
\(\Rightarrow5\left(x^2+4y^2\right)\ge\dfrac{1}{5}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{5}\)