a, Cho a \(\ge\)3. Tìm min M= a + \(\dfrac{1}{a}\)
b, Cho a \(\ge\) 2. Tìm min N = a + \(\dfrac{1}{a^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 5 2022
Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)
CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế:
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 4 2021
Lời giải:
Xét:
$\frac{a}{a^2+1}-\left(\frac{16}{25}-\frac{3}{25}a\right)=\frac{(a-2)^2(3a-4)}{25(a^2+1)}\geq 0$ với mọi $a\geq \frac{4}{3}$
$\Rightarrow \frac{a}{a^2+1}\geq \frac{16}{25}-\frac{3}{25}a$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế, suy ra:
$A\geq \frac{48}{25}-\frac{3}{25}(a+b+c)=\frac{6}{5}$
Vậy $A_{\min}=\frac{6}{5}$.
Giá trị này đạt tại $a=b=c=2$
27 tháng 4 2021
có cách nào không gượng ép như thế này không ạ
kiểu như phân tích chọn điểm rơi để tìm cách thêm bớt ấy ạ
2 tháng 1 2022
Ta có \(a^2+\dfrac{1}{b+c}=a^2+\dfrac{1}{6-a}\)
Mà \(a+b+c=6\Rightarrow0\le a,b,c\le2\)
\(\Rightarrow a^2+\dfrac{1}{6-a}\ge2^2+\dfrac{1}{6-2}=\dfrac{17}{4}\)
\(\Rightarrow P=\sum\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}}=\sum\sqrt{a^2+\dfrac{1}{6-a}}\ge\sqrt{\dfrac{17}{4}}+\sqrt{\dfrac{17}{4}}+\sqrt{\dfrac{17}{4}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
T
31 tháng 7 2017
1. Vì x, y, z > 0
\(xy+yz+zx\ge2xyz\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge2\)
Suy ra:
\(\dfrac{1}{x}\ge1-\dfrac{1}{y}+1-\dfrac{1}{z}=\dfrac{y-1}{y}+\dfrac{z-1}{z}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}{yz}}\). (1)
Tương tự \(\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}{zx}}\) (2)
và \(\dfrac{1}{z}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}{xy}}\) (3)
Nhân (1), (2), (3) với nhau theo vế ta được
\(\dfrac{1}{xyz}\ge\dfrac{8\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}{xyz}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\le\dfrac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{2}\)
26 tháng 12 2016
a) giả sử \(x\ge y\ge3\)
P(x)=x+1/x
P(y)=y+1/y
P(x)-p(y)=(x+1/x)-(y+1/y)=(x-y)+(1/x-1/y)=A
\(x\ge y\ge3\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{y}\hept{\begin{cases}x-y\le0\\\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\le0\end{cases}\Rightarrow A\le0}\)
Kết luận a cành lớn thì P(a) càng lớn
=> Pmin=P(3)=3+1/3=10/3
26 tháng 12 2016
Ok ta cần chứng minh A>=0
\(A=\left(x-y\right)+\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)=\left(x-y\right)+\frac{\left(y-x\right)}{xy}=\left(x-y\right)-\frac{\left(x-y\right)}{xy}\\ \)
\(A=\left(x-y\right)\left[1-\frac{1}{xy}\right]\)
\(x\ge y\ge3\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y\ge0\\xy\ge9\\\frac{1}{xy}\le\frac{1}{9}< 1\Rightarrow1-\frac{1}{xy}>0\end{cases}}\Rightarrow A\ge0\)
CC
14 tháng 4 2018
2)a)\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
c)\(a^3+b^3-a^2b-ab^2=a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\\ \Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
b)\(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\Leftrightarrow4a^3+4b^3\ge a^3+b^3+3a^b+3ab^2\\ \Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\)
BC
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 3 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$P=(a+1)+\frac{2}{a+1}+2\geq 2\sqrt{(a+1).\frac{2}{a+1}}+2=2\sqrt{2}+2$
Vậy $P_{\min}=2\sqrt{2}+2$
Giá trị này đạt tại $(a+1)^2=2; a>0\Leftrightarrow a=\sqrt{2}-1$
------------------------
Bổ sung ĐK: $a>1$
$X=\frac{a^2-1+2}{a-1}=a+1+\frac{2}{a-1}$
$=(a-1)+\frac{2}{a-1}+2$
$\geq 2\sqrt{2}+2$ (AM-GM)
Vậy $X_{\min}=2\sqrt{2}+2$
Giá trị đạt tại $(a-1)^2=\sqrt{2}; a>1\Leftrightarrow a=\sqrt{2}+1$
6 tháng 3 2018
1a)\(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{1}{4}\)(1)
Lại có:\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng\(\Rightarrowđpcm\)
1b)\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{c^2}{2}\ge\dfrac{1}{6}\)(2)
Lại có:\(\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{c^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\dfrac{1}{6}\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) đúng\(\Rightarrowđpcm\)
6 tháng 3 2018
2b)Ta có:\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(bđt phụ)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{4^2}{3}=\dfrac{16}{3}\)
\(\Rightarrow MAXA=\dfrac{16}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{4}{3}\)
\(M=\dfrac{a^2+1}{a}\Rightarrow M-\dfrac{10}{3}=\dfrac{a^2+1}{a}-\dfrac{10}{3}=\dfrac{3a^2-10a+3}{3a}=\dfrac{\left(3a-1\right)\left(a-3\right)}{3a}\)\(a\ge3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a>0\\3a-1>0\\a-3\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{\left(3a-1\right)\left(a-3\right)}{3a}\ge0\)
\(\Rightarrow M-\dfrac{10}{3}\ge0\Rightarrow M\ge\dfrac{10}{3}\)
MIn M =10/3 khi x=3