Tìm x,y nguyên thỏa mãn :
x2y2 - x2 - 8y2 = 2xy
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 1 2021
Nếu x, y không chia hết cho 3 thì x2 chia cho 3 dư 1, do đó \(\left(x^2+2\right)^2\) chia hết cho 3.
Mà \(2y^4+11y^2+x^2y^2+9\) không chia hết cho 3 nên suy ra vô lí.
Do đó x = 3 hoặc y = 3 (Do x, y là các số nguyên tố).
Với x = 3 ta có \(2y^4+20y^2+9=121\Leftrightarrow y^4+10y^2-56=0\Leftrightarrow\left(y^2-4\right)\left(y^2+14\right)=0\Leftrightarrow y=2\) (Do y là số nguyên tố).
Với y = 3 ta có:
\(\left(x^2+2\right)^2=9x^2+270\Leftrightarrow x^4-5x^2-266=0\Leftrightarrow\left(x^2+14\right)\left(x^2-19\right)=0\). Không tồn tại số nguyên tố x thoả mãn.
Vậy x = 2; y = 3.
NV
2 tháng 3 2023
\(x^2y^2-x^2-3y^2-2x-1=0\)
\(\Leftrightarrow y^2\left(x^2-3\right)-\left(x+1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow y^2\left(x^2-3\right)=\left(x+1\right)^2\left(1\right)\)
Vì y2 và (x+1)2 đều là các số chính phương, do đó x2-3 cũng phải là số chính phương.
Đặt \(x^2-3=a^2\) (a là số tự nhiên).
\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=3\)
Ta có x+a>x-a. Lập bảng:
| x+a | 3 | -1 |
| x-a | 1 | -3 |
| x | 2 | -2 |
Với \(x=2\) . \(\left(1\right)\Rightarrow y^2=9\Leftrightarrow y=\pm3\)
Với \(x=-2\). \(\left(1\right)\Rightarrow y^2=1\Leftrightarrow y=\pm1\)
Vậy các số nguyên \(\left(x;y\right)=\left(2;3\right),\left(2;-3\right),\left(-2;1\right),\left(-2;-1\right)\)
NC
1
NV
11 tháng 3 2023
\(x^2+4y^2=x^2y^2-2xy\)
\(\Rightarrow x^2+4y^2+4xy=x^2y^2+2xy+1-1\)
\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2=\left(xy+1\right)^2-1\)
\(\Rightarrow\left(xy+1\right)^2-\left(x+2y\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\left(xy-x-2y+1\right)\left(xy+x+2y+1\right)=1\)
Vì x,y là các số nguyên nên \(\left(xy-x-2y+1\right),\left(xy+x+2y+1\right)\) là các ước số của 1. Do đó ta có 2 trường hợp:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}xy-x-2y+1=1\\xy+x+2y+1=1\left(1\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-xy+x+2y-1=-1\\xy+x+2y+1=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(x+2y\right)=0\Rightarrow x=-2y\)
Thay vào (1) ta được:
\(-2y^2+1=1\Leftrightarrow y=0\Rightarrow x=0\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}xy-x-2y+1=-1\\xy+x+2y+1=-1\left(1\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-xy+x+2y-1=1\\xy+x+2y+1=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(x+2y\right)=0\Rightarrow x=-2y\)
Thay vào (1) ta được:
\(-2y^2+1=-1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)
\(y=1\Rightarrow x=-2;y=-1\Rightarrow x=2\)
Vậy các cặp số nguyên (x;y) thỏa điều kiện ở đề bài là \(\left(0;0\right),\left(2;-1\right)\left(-2;1\right)\)
SS
0
D
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 7 2021
Bạn vui lòng viết đề đầy đủ, và gõ bằng công thức toán để được hỗ trợ tốt hơn.
NN
1
12 tháng 6 2023
Với x, y là hai số dương, dễ dàng chứng minh x + y 2,
do x + y = 2 => 0 < xy ≤ 1 (1)
Ta lại có: 2xy( x2 + y2) ≤
=> 0 < 2xy(x2 + y2) ≤ (x+y)4/4 = 4
=> 0 < xy( x2 + y2) ≤ 2 (2)
Nhân (1) với (2) theo vế ta có: x2y2 ( x2 + y2) ≤ 2 (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 1 2024
a.
\(\Leftrightarrow2x^2-4x+4y^2=4xy+4\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)=8\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(x-2\right)^2=8\) (1)
Do \(\left(x-2y\right)^2\ge0;\forall x;y\)
\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2\le8\)
\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2=\left\{0;1;4\right\}\)
TH1: \(\left(x-2\right)^2\Rightarrow x=2\) thế vào (1)
\(\Rightarrow\left(2-2y\right)^2=8\Rightarrow\left(1-y\right)^2=2\) (ko tồn tại y nguyên t/m do 2 ko phải SCP)
TH2: \(\left(x-2\right)^2=1\Rightarrow\left(x-2y\right)^2=8-1=7\), mà 7 ko phải SCP nên pt ko có nghiệm nguyên
TH3: \(\left(x-2\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=0\end{matrix}\right.\) thế vào (1):
- Với \(x=0\Rightarrow\left(-2y\right)^2+4=8\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1\)
- Với \(x=2\Rightarrow\left(2-2y\right)^2+4=8\Rightarrow\left(1-y\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=2\end{matrix}\right.\)
Vậy pt có các cặp nghiệm là:
\(\left(x;y\right)=\left(0;1\right);\left(0;-1\right);\left(2;0\right);\left(2;2\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 1 2024
b.
\(\Leftrightarrow2x^2+4y^2+4xy-4x=14\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+4xy+4y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)=18\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2y\right)^2+\left(x-2\right)^2=18\) (1)
Lý luận tương tự câu a ta được
\(\left(x-2\right)^2\le18\Rightarrow\left(x-2\right)^2=\left\{0;1;4;9;16\right\}\)
Với \(\left(x-2\right)^2=\left\{0;1;4;16\right\}\) thì \(18-\left(x-2\right)^2\) ko phải SCP nên ko có giá trị nguyên x;y thỏa mãn
Với \(\left(x-2\right)^2=9\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-1\end{matrix}\right.\) thế vào (1)
- Với \(x=5\Rightarrow\left(5+2y\right)^2+9=18\Rightarrow\left(5+2y\right)^2=9\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}5+2y=3\\5+2y=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=-4\end{matrix}\right.\)
- Với \(x=-1\Rightarrow\left(-1+2y\right)^2=9\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1+2y=3\\-1+2y=-3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(5;-1\right);\left(5;-4\right);\left(-1;3\right);\left(-1;-3\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 8 2023
Lời giải:
$x^2+2y^2+x^2y^2-10xy+16=0$
$\Leftrightarrow (x^2+y^2-2xy)+(x^2y^2-8xy+16)+y^2=0$
$\Leftrightarrow (x-y)^2+(xy-4)^2+y^2=0$
Vì $(x-y)^2\geq 0; (xy-4)^2\geq 0; y^2\geq 0$ với mọi $x,y$
$\Rightarrow$ để tổng của chúng bằng $0$ thì:
$(x-y)^2=(xy-4)^2=y^2=0$
$\Leftrightarrow x=y=0$ và $xy=4$ (vô lý)
Vậy không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề nên cũng không tồn tại $T$.
\(pt\Leftrightarrow y^2\left(x^2-7\right)=\left(x+y\right)^2\left(1\right)\)
Phương trình đã cho có nghiệm \(x=y=0\)
Xét \(x,y\ne0\), từ \((1)\) suy ra \(x^2-7\) là một số chính phương
Đặt \(x^2-7=a^2\) ta có:
\(\left(x-a\right)\left(x+a\right)=7\) từ đây tìm được x
Vậy \((x,y)=(0,0);(4,-1);(4,2);(-4,1);(-4;-2)\)