Cho \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)
CMR : \(\frac{a}{c}=\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2\)
Help me !!!!!!! Nguyễn Huy Tú, soyeon_Tiểubàng giải, Nguyễn Đình Dũng, Trần Việt Linh, Võ Đông Anh Tuấn, Nguyễn Huy Thắng giúp em với các anh chj ơi
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 10 2016
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{b+c+d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\)
\(\Rightarrow\frac{a}{d}=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\left(đpcm\right)\)
23 tháng 10 2016
Giải:
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow a=bk,b=ck,c=dk\)
Ta có:
\(\frac{a}{d}=\frac{bk}{d}=\frac{bkk}{dk}=\frac{bk^2}{c}=\frac{b.k^2.k}{ck}=\frac{b.k^3}{b}=k^3\) (1)
\(\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\left(\frac{bk+ck+dk}{b+c+d}\right)^3=\left[\frac{k\left(b+c+d\right)}{b+c+d}\right]^3=k^3\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{d}=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\left(đpcm\right)\)
30 tháng 10 2016
\(\left(\frac{a}{c}\right)^n=\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}\Leftrightarrow\frac{a^n}{c^n}=\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}=\frac{a^n+b^n-a^n}{c^n+d^n-c^n}=\frac{b^n}{d^n}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{c}\right)^n=\left(\frac{b}{d}\right)^n\)
Từ đó suy ra đpcm.
30 tháng 10 2016
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\left(\frac{a}{c}^n\right)=\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}=\frac{\left(a^n+b^n\right)-a^n}{\left(c^n+d^n\right)-c^n}=\frac{b^n}{d^n}\)
=> \(\left(\frac{a}{c}\right)^n=\left(\frac{b}{d}\right)^n\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
KK
3 tháng 1 2017
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{2016c-a-b}{c}=\frac{2016b-a-c}{b}=\frac{2016a-b-c}{a}=\frac{2016c-a-b+2016b-a-c+2016a-b-c}{a+b+c}=\frac{2016\left(a+b+c\right)-2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=\frac{2014\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2014\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{2016c-a-b}{c}=2014\\\frac{2016b-a-c}{b}=2014\\\frac{2016a-b-c}{a}=2014\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}2016c-a-b=2014c\\2016b-a-c=2014b\\2016a-b-c=2014a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}-a-b=2014c-2016c\\-a-c=2014b-2016b\\-b-c=2014a-2016a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}-a-b=-2c\\-a-c=-2b\\-b-c=-2a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a+b=2c\\a+c=2b\\b+c=2a\end{matrix}\right.\) (1)
Ta có \(A=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{a+b}{b}.\frac{c+b}{c}.\frac{a+c}{a}\)
Thế (1) vào biểu thức ta có :
\(A=\frac{a+b}{b}.\frac{c+b}{c}.\frac{a+c}{a}\)
\(\Rightarrow A=\frac{2c}{b}.\frac{2a}{c}.\frac{2b}{a}\)
\(\Rightarrow A=2.2.2=8\)
Vậy biểu thức A=8
20 tháng 11 2016
Dùng hình của bạn Xuân Sáng nhé!
Ta có : \(MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}\left(AC+CB\right)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)
8 tháng 11 2016
Mình chỉ làm những câu rõ đề thôi nhé ^^
1/ a/ Đặt \(t=2x-3\) thì pt trở thành \(t^3=\left(t+2\right)^2\Leftrightarrow t^3-t^2-4t-4=0\Leftrightarrow t^2\left(t-1\right)-4\left(t-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t^2-4\right)=0\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=2\\t=1\\t=-2\end{array}\right.\)
Tới đây dễ rồi .
b/ Tương tự đặt \(a=2x-3\) thì pt trở thành \(a^3=a+2\Leftrightarrow a^3-a-2=0\)
Bạn xem lại đề , lớp 7 chưa học giải pt này đâu
c/ VT > 0 => VP > 0 => x > 0
Với x > 0 thì: \(\left|x+3\right|+\left|x+4\right|+\left|x+5\right|=x+3+x+4+x+5=3x+12\)
Tới đây dễ rồi :)
8 tháng 11 2016
4) |2-|3-2x||=4
<=>\(\left[\begin{array}{nghiempt}2-\left|3-2x\right|=4\\2-\left|3-2x\right|=-4\end{array}\right.\)
<=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}\left|3-2x\right|=-2\left(vl\right)\\\left|3-2x\right|=6\end{array}\right.\)
<=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}3-2x=6\\3-2x=-6\end{array}\right.\)
<=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=-\frac{3}{2}\\x=\frac{9}{2}\end{array}\right.\)
VM
23 tháng 11 2019
Ta có: \(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{c}:\frac{1}{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{c}=\frac{a}{1}+\frac{b}{1}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{c}=\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{c}=\frac{a+b}{ab}\)
\(\Rightarrow2ab=\left(a+b\right).c\)
\(\Rightarrow2ab=ac+bc\)
\(\Rightarrow ab+ab=ac+bc\)
\(\Rightarrow ab-bc=ac-ab\)
\(\Rightarrow b.\left(a-c\right)=a.\left(c-b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a-c}{c-b}\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 8 2019
Riêng đối với bài số 2. Mình nghĩ điều kiện là $a,b,c>1$ . Tất nhiên điều kiện $a,b,c>0$ thì bài toán không sai, nhưng chặt hơn và khó hơn. Với đk $a,b,c>1$ thì đây là 1 bài toán đã rất quen thuộc với những ai ôn thi HSG toán 9. Lời giải của nó cũng sơ cấp và đẹp hơn nhiều.
Tất nhiên mình vẫn làm theo đề bài trên. Nếu bạn cần, mình cũng sẽ trình bày lời giải bài kia (trong điều kiện có t/g)
\(a+b+c=abc\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=1\)
Đặt $(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c})=(x,y,z)$ thì bài toán trở thành:
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+xz=1$. Tìm min $A=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-2(x^2+y^2+z^2)$
----------------------------
Ta có:
\(A=(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x})(xy+yz+xz)-2(x^2+y^2+z^2)\)
\(=x^3+y^3+z^3+xy^2+yz^2+zx^2+\frac{xy^3}{z}+\frac{yz^3}{x}+\frac{zx^3}{y}-2(x^2+y^2+z^2)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{xy^3}{z}+\frac{yz^3}{x}+\frac{zx^3}{y}=\frac{x^2y^4+y^2z^4+z^2x^4}{xyz}=\frac{(x^2y^4+x^4z^2)+(y^2z^4+y^4x^2)+(z^2x^4+y^2z^4)}{2xyz}\geq \frac{2x^3y^2z+2xy^3z^2+2x^2yz^3}{2xyz}=x^2y+y^2z+z^2x\)
Do đó:
\(A\geq x^3+y^3+z^3+xy^2+y^2z+z^2x+x^2y+y^2z+z^2x-2(x^2+y^2+z^2)\)
\(A\geq (x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-2(x^2+y^2+z^2)\)
\(A\geq (x+y+z)[(x+y+z)^2-2]-2[(x+y+z)^2-2]\)
\(A\geq (x+y+z)^3-2(x+y+z)-2(x+y+z)^2+4\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow A\geq t^3-2t-2t^2+4\)
Áp dụng AM-GM: \(t=x+y+z\geq \sqrt{3(xy+yz+xz)}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow t^3-2t-2t^2+4=(t-\sqrt{3})(t^2+\sqrt{3}t-2t+1-2\sqrt{3})+\sqrt{3}-2\geq \sqrt{3}-2\)
(do $t-\sqrt{3}\geq 0$ và \(t^2+\sqrt{3}t-2t+1-2\sqrt{3}\geq 2\sqrt{3}t-2t+1-2\sqrt{3}\geq (2\sqrt{3}-2)\sqrt{3}+1-2\sqrt{3}>0\))
$\Rightarrow A\geq t^3-2t-2t^2+4\geq \sqrt{3}-2$
Vậy $A_{\min}=\sqrt{3}-2$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 8 2019
Bài 1:
Kết hợp đk $abc=1$, BĐT cần chứng minh tương đương với:
\((1+a+b+c)^2\geq 4(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)
\(\Leftrightarrow 1+a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)+2(a+b+c)\geq 4(1+ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c\geq 3+2ab+2bc+2ac(*)\)
Theo nguyên lý Di-rich-let thì trong 3 số $a,b,c$ luôn tồn tại ít nhất 2 số cùng phía so với $1$
Không mất tổng quát giả sử đó là $a,b$
Khi đó: \((a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b\Rightarrow 1+c\geq ac+bc\)
\(\Rightarrow 2+2c\geq 2ac+2bc(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^2+b^2\geq 2ab(2)\)
\(c^2+2a+2b=c^2+a+a+b+b\geq 5\sqrt[5]{c^2a^2b^2}=5(3)\)
Lấy $(1)+(2)+(3)$ rồi rút gọn ta thu được $(*)$ . Do đó BĐT ban đầu đúng. Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
30 tháng 10 2016
Giải:
Gọi \(a_1=a\), \(a_2=b,a_3=c,a_4=d\)
Ta có: \(b^2=a.c\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)
\(c^2=b.d\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow a=bk,b=ck,c=dk\)
Ta có: \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{\left(bk\right)^3+\left(ck\right)^3+\left(dk\right)^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{b^3.k^3+c^3.k^3+d^3.k^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{k^3\left(b^3+c^3+d^3\right)}{b^3+c^3+d^3}=k^3\) (1)
\(\frac{a}{d}=\frac{bk}{d}=\frac{ckk}{d}=\frac{dkkk}{d}=k^3\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\) hay \(\frac{a_1^3+a_2^3+a_3^3}{a_2^3+a_3^3+a_4^3}=\frac{a_1}{a_4}\) ( đpcm )
Đặt: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k\)
=> \(\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=k^2\)
=> \(\frac{a}{c}=k^2\) (1)
Lại có: \(\frac{a+b}{b+c}=\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k\)
=> \(\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2=k^2\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2=\frac{a}{c}\)
Giải:
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow a=bk,b=ck\)
Ta có:
\(\frac{a}{c}=\frac{bk}{c}=\frac{bkk}{ck}=\frac{bkk}{b}=k^2\) (1)
\(\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2=\left(\frac{bk+ck}{b+c}\right)^2=\left[\frac{k\left(b+c\right)}{b+c}\right]^2=k^2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{c}=\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2\)
Vậy \(\frac{a}{c}=\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2\)