tim GTLN,GTNN của
A=\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\)
biết \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 9 2018
Lời giải:
Ta có:
\(A=x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=(\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)\)
\(=x-\sqrt{xy}+y=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-3\sqrt{xy}\)
\(=1-3\sqrt{xy}\)
Ta thấy \(\sqrt{xy}\geq 0\Rightarrow A=1-3\sqrt{xy}\leq 1\)
Vậy \(A_{\max}=1\Leftrightarrow (x,y)=(1,0)\) và hoán vị.
Lại có, theo BĐT Cô-si:
\(1=\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq 2\sqrt{\sqrt{x}.\sqrt{y}}=2\sqrt[4]{xy}\)
\(\Rightarrow \sqrt{xy}\leq \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow A=1-3\sqrt{xy}\geq 1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)
Vậy \(A_{\min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 10 2019
1/ ĐKXĐ: \(\left|x\right|;\left|y\right|\le1\)
Nếu x;y cùng âm thì vế trái âm (vô lý)
Nếu x;y trái dấu, giả sử \(x>0;y< 0\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}x\le1\\\sqrt{1-x^2}\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x\sqrt{1-x^2}< 1\)
Mà \(y< 0\Rightarrow y\sqrt{1-y^2}< 0\Rightarrow x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}< 1\) (vô lý)
Vậy x; y không âm
Khi đó áp dụng BĐT Cô-si:
\(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\frac{1}{2}\left(x^2+1-y^2+y^2+1-x^2\right)=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1-y^2\\y^2=1-x^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2+y^2=1\)
2/ ĐKXĐ: ...
\(A\ge\sqrt{1-x+1+x}=\sqrt{2}\)
\(A_{min}=\sqrt{2}\) khi \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)
\(A\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(1-x+1+x\right)}=2\)
\(A_{max}=2\) khi \(1-x=1+x\Leftrightarrow x=0\)
19 tháng 2 2017
Đk: \(x\ge2;y\ge-1;0< x+y\le9\)
Ta có: \(\sqrt{2x-4}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2(y+1)}\leq\sqrt{3(x+y-1)}\)
Từ giả thiết suy ra
\(x+y-1=\sqrt{2x-4}+\sqrt{y+1}\Rightarrow x+y-1\leq\sqrt{3(x+y-1)}\)
Vậy \(1\leq(x+y)\leq4\). Đặt \(\left\{\begin{matrix}t=x+y\\t\in\left[1;4\right]\end{matrix}\right.\) ta có:
\(P=t^2-\sqrt{9-t}+\frac{1}{\sqrt{t}}\)
\(P'\left(t\right)=2t+\frac{1}{2\sqrt{9-t}}-\frac{1}{2t\sqrt{t}}>0\forall t\in\left[1;4\right]\)
Vậy \(P\left(t\right)\) đồng biến trên \([1;4]\)
Suy ra \(P_{max}=P\left(4\right)=4^2-\sqrt{9-4}+\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{33-2\sqrt{5}}{2}\) khi \(\left\{\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)
\(P_{min}=P\left(1\right)=2-2\sqrt{2}\) khi \(\left\{\begin{matrix}x=2\\y=-1\end{matrix}\right.\)
DT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 9 2021
Lời giải:
TXĐ: $[-1;1]$
$y'=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}+\frac{x}{2}$
$y'=0\Leftrightarrow x=0$
$f(0)=2$;
$f(1)=f(-1)=\sqrt{2}+\frac{1}{4}$
Vậy $f_{\min}=2; f_{\max}=\frac{1}{4}+\sqrt{2}$
MT
2 tháng 2 2016
câu a) rút x theo y thế vào A rồi áp dụng HĐT
b)rút xy thế vào B
c)HĐT
d)rút x theo y thé vào C
rồi dùng BĐT cô-si
e)BĐT chưa dấu giá trị tuyệt đối
8 tháng 1 2018
a ) Tìm GTLN : Áp dụng BĐT bunhiacopski, ta có :
Dầu bằng xảy ra khi \(x-1=5-x\Leftrightarrow x=3\).
8 tháng 1 2018
Sao ko hiện làm lại :
\(\left(\sqrt{x-1}.1+\sqrt{5-x}.1\right)^2\le\) bé hơn hoặc bằng ( 1 + 1 ) ( x - 1 + 5 -x ) = 8
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 3 2021
\(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\ge0\Rightarrow x+y\ge0\)
\(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\le\sqrt{2\left(x+y+12\right)}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le2\left(x+y+12\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y+4\right)\left(x+y-6\right)\le0\)
\(\Rightarrow x+y\le6\) (do \(x+y+4>0\))
\(P_{max}=6\) khi \(x=y=3\)
\(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=x+y+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\ge x+y+12\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)-12\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+3\right)\left(x+y-4\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x+y-4\ge0\) (do \(x+y+3>0\))
\(\Rightarrow x+y\ge4\)
\(P_{min}=4\) khi \(\left(x;y\right)=\left(-6;10\right)\) và hoán vị
30 tháng 3 2021
Ta có: x - \(\sqrt{x+6}\) = \(\sqrt{y+6}\) - y (x; y \(\ge\) -6)
\(\Leftrightarrow\) P = x + y = \(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)
\(\Leftrightarrow\) P2 = x + y + 12 + 2\(\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số ko âm x + 6 và y + 6 ta có:
\(x+y+12\ge2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)
\(\Leftrightarrow\) P2 \(\le\) x + y + 12 + x + y + 12 = 2x + 2y + 24 = 2P + 24
\(\Leftrightarrow\) P2 - 2P - 24 \(\le\) 0
\(\Leftrightarrow\) P2 - 36 + 12 - 2P \(\le\) 0
\(\Leftrightarrow\) (P - 6)(P + 6) + 2(6 - P) \(\le\) 0
\(\Leftrightarrow\) (P - 6)(P + 4) \(\le\) 0
\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}P-6\ge0\\P+4\le0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}P-6\le0\\P+4\ge0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}-4\ge P\ge6\left(KTM\right)\\6\ge P\ge-4\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) -4 \(\le\) P \(\le\) 6
Vậy ...
Chúc bn học tốt!
K
2 tháng 8 2020
Bài 2 :
Tìm min : Bình phương
Tìm max : Dùng B.C.S ( bunhiacopxki )
Bài 3 : Dùng B.C.S
2 tháng 8 2020
KP9
nói thế thì đừng làm cho nhanh bạn ạ
Người ta cũng có chút tôn trọng lẫn nhau nhé đừng có vì dăm ba cái tích
5 tháng 2 2020
Câu 1:
\(y^2+yz+z^2=1-\frac{3x^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2y^2+2yz+2z^2=2-3x^2\)
\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)^2+y^2+z^2+3x^2=2\)
\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)^2+x^2+2x\left(y+z\right)+y^2+z^2+2x^2-2x\left(y+z\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=2-\left(x-y\right)^2-\left(x-z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow A^2=2-\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2\right]\le2\forall x;y;z\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le A\le\sqrt{2}\)
Vậy \(A_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\x+y+z=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{-\sqrt{2}}{3}\)
\(A_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Câu 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}\ge\frac{9}{3+xy+yz+zx}\ge\frac{9}{3+x^2+y^2+z^2}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Câu 3:
\(P=\frac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{abc}\) ( \(a\ge3;b\ge4;c\ge2\) )
\(P=\frac{\sqrt{c-2}}{c}+\frac{\sqrt{a-3}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(P=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{c-2}}{c}+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{a-3}}{a}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2\cdot\sqrt{b-4}}{b}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2+c-2}{c}+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3+a-3}{a}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{4+b-4}{b}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=8\\c=4\end{matrix}\right.\)
Câu 4:
Đặt \(\sqrt{x}=a;\sqrt{y}=b\left(a;b\ge0\right)\)
\(M=a^2-2ab+3b^2-2a+1\)
\(M=a^2-a\left(2b+2\right)+3b^2+1\)
\(\Delta=\left(2b+2\right)^2-4\left(3b^2+1\right)\)
\(=-8b^2+8b\)
\(=-8b\left(b+1\right)\ge0\)
Vì \(b\ge0\) nên \(-8b\left(b+1\right)\le0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=0\)
Khi đó \(M=a^2-2a+1=\left(a-1\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)
Vậy \(M_{min}=1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)
Đk: x \(\ge\)0; y \(\ge\)0
Ta có: \(A=x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)\)
\(A=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^3-3\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Với \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\) => \(A=1^3-3\sqrt{xy}.1=1-3\sqrt{xy}\) (1)
Do \(\sqrt{xy}\le\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{4}\)(bđt cosi ) => \(1-3\sqrt{xy}\ge1-3\cdot\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{4}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=\sqrt{y}\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\end{cases}}\) <=> \(x=y=\frac{1}{4}\)
Vậy MinA = 1/4 <=> x = y = 1/4
Lại có: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\) => \(\sqrt{y}=1-\sqrt{x}\le1\) => \(\sqrt{y}-1\le0\)
=> \(\sqrt{x}=1-\sqrt{y}\le1\) ==> \(\sqrt{x}-1\le0\)
=> \(\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{y}-1\right)\ge0\) <=> \(xy-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+1\ge0\)
<=> \(xy-1+1\ge0\) <=> \(xy\ge0\) <=> \(\sqrt{xy}\ge\)0
Do đó: \(A=1-3\sqrt{xy}\le1-3.0=1\)
Dấu "=" xảy ra<=> \(\hept{\begin{cases}xy=0\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)
Vậy MaxA = 1 <=> \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)