Cho \(0\le x,y,z\le1.\)CMR:
\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\le\frac{3}{xyz+1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LV
15 tháng 6 2017
\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị
TN
15 tháng 6 2017
trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))
HP
Cho x,y,z>0; \(x^2+y^2+z^3=\frac{5}{3}\)
CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\le\frac{1}{xyz}\)
3
F
3
VQ
9 tháng 6 2017
Vì \(0\le x,y,z\le1\)
\(\Rightarrow xy\le y\)
\(x^2\le1\)
\(\Rightarrow x^2+xy+xz\le xz+y+1\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+y+z\right)\le1+y+xz\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{1}{x+y+z}\)
CMTT : các vế khác cug vậy
cộng các vế vào là đc
20 tháng 1 2018
\(0\le x;y;z\le1\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow xy-x-y+1\ge0\)
\(\Rightarrow xy+1\ge x+y\)
Tương tự ta chứng minh được \(xz+1\ge x+z\)và \(yz+1\ge y+z\)
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\le\frac{1}{x+y+z}\)(\(x\le1\))
\(\Rightarrow\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{y}{x+y+z}\le\frac{1}{x+y+z}\)(\(y\le1\))
\(\Rightarrow\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{z}{x+y+z}\le\frac{1}{x+y+z}\)\(z\le1\))
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{3}{x+y+z}\)(đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 11 2019
Chỉ có biến đổi tương đương:
\(\frac{x^2+y^2+2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\le\frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x^2+y^2+2\right)\le2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2+x^3y+xy^3+2xy\le2+2x^2+2y^2+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2-2xy\right)-\left(x^2-2xy+y^2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\le0\) (luôn đúng với mọi \(xy\le1\))
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=y\\xy=1\end{matrix}\right.\)
b/ Tính chất của z ở câu b là gì bạn? z bất kì là ko được đâu, hơn nữa mẫu số của vế phải thấy hơi kì quặc
PQ
Cho \(0\le x,y,z\le1\). CMR:
\(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{3}{x+y+z}\)
1
15 tháng 5 2018
Do \(0\le x,y,z\le1\)\(\Rightarrow x\ge x^2;y\ge y^2;z\ge z^2\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(z-1\right)\ge0\Rightarrow xz-x-z+1\ge0\Rightarrow xz+y+1\ge x+y+z\ge x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\le\frac{x}{x^2+y^2+z^2}\)
Tương tự rồi cộng từng vế, ta có:
\(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}\le\frac{3}{x+y+z}\)
=> ĐPCM
K
28 tháng 1 2019
CMR : \(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2;\left(0\le x\le y\le z\le1\right)\)
Ta có : \(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{xy+1}+\frac{z}{xy+1}=\frac{x+y+z}{xy+1}\left(1\right)\)
Ta lại có : \(0\le x\le1;0\le y\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy-x-y+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy+1\ge x+y\left(2\right)\)
Thay (2) và (1) được : \(\frac{x+y+z}{xy+1}\le\frac{xy+1+2}{xy+1}\le\frac{2\left(xy+1\right)}{xy+1}=2\)
16 tháng 5 2020
Vì \(0\le x\le y\le z\le1\Rightarrow x-1\le0;y-1\le0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy+1\ge x+y\Rightarrow\frac{1}{xy+1}\le\frac{1}{x+y}\Rightarrow\frac{z}{xy+1}\le\frac{z}{x+y}\left(1\right)\)
Cmtt: \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{yz+1}\le\frac{x}{y+z}\left(2\right)\\\frac{y}{xz+1}\le\frac{y}{x+z}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1), (2), (3) ta có:
\(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\left(4\right)\)
Mà \(\frac{x}{y+z}\le\frac{x+z}{x+y+z}\Rightarrow\frac{x}{y+z}\le\frac{2x}{x+y+z}\)
Cmtt: \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{x+z}\le\frac{2y}{x+y+z}\\\frac{z}{x+y}\le\frac{2z}{x+y+z}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\le2\left(5\right)\)
Từ (4), (5) => đpcm
VT
21 tháng 10 2019
Nhân cả 2 vế với xyz bất đẳng thức sẽ thành yz+ xz+xy+yz\(\sqrt{1+x^2}\)+xz\(\sqrt{1+y^2}+xy\sqrt{1+z^2}\le x^2y^2z^2\)
Ta có yz\(\sqrt{1+x^2}=\sqrt{yz}.\sqrt{yz+x^2yz}=\sqrt{yz}.\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}=\)\(\sqrt{yz}.\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)\(\le\)\(yz+\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{4}\)(2ab\(\le a^2+b^2\))
làm tương tự ta được xz\(\sqrt{1+x^2}\le xz+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{4};xy\sqrt{1+z^2}\le xy+\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{4}.\)
vế trái \(\le\) 2(xy+yz+zx) + \(\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+x\right)\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{4}\)\(\le2.\frac{1}{3}.\left(x+y+z\right)^2+\frac{\frac{1}{3}\left(x+y+y+z+z+x\right)^2}{4}=\left(x+y+z\right)^2=x^2y^2z^2.\)
[ (a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 \(\ge0\)<=>\(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\) áp dụng vào trên)
dấu '=' xảy ra khi x=y=z \(\sqrt{3}\)