Bài 4: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn âm với mọi giá trị của biến a) M=-x² + 6x – 12 b) N= - 3x-x2 – 4 c)P =- 3x2+ 6x+20 d) Q= - 4x2 + 8x- 9y² – 6y – 35
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(-\frac{1}{4}x^2+x-2\)
\(=-\left(\frac{1}{4}x^2-2\cdot\frac{1}{2}x+1\right)-1\)
\(=-\left(\frac{1}{2}x-1\right)^2-1\)
Do \(\left(\frac{1}{2}x-1\right)^2\ge0\Rightarrow-\left(\frac{1}{2}x-1\right)^2\le0\Rightarrow-\left(\frac{1}{2}x-1\right)^2-1< 0\)
Vậy \(\left(-\frac{1}{4}\right)x^2+x-2\) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến
Bài 1) Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến:
a) 9x^2+12x-15
=-(9x^2-12x+4+11)
=-[(3x-2)^2+11]
=-(3x-2)^2 - 11.
Vì (3x-2)^2 không âm với mọi x suy ra -(3x-2)^2 nhỏ hơn hoặc bằng 0 vơi mọi x
Do đó -[(3*x)-2]^2-11 < 0 với mọi giá trị của x.
Hay -9*x^2 + 12*x -15 < 0 với mọi giá trị của x.
b) -5 – (x-1)*(x+2)
= -5-(x^2+x-2)
=-5- (x^2+2x.1/2 +1/4 - 1/4-2)
=-5-[(x-1/2)^2 -9/4]
=-5-(x-1/2)^2 +9/4
=-11/4 - (x-1/2)^2
Vì (x-1/2)^2 không âm với mọi x suy ra -(x-1/2)^2 nhỏ hơn hoặc bằng 0 vơi mọi x
Do đó -11/4 - (x-1/2)^2 < 0 với mọi giá trị của x.
Hay -5 – (x-1)*(x+2) < 0 với mọi giá trị của x.
Bài 2)
a) x^4+x^2+2
Vì x^4 +x^2 lớn hơn hoặc bằng 0 vơi mọi x
suy ra x^4+x^2+2 >=2
Hay x^4+x^2+2 luôn dương với mọi x.
b) (x+3)*(x-11) + 2003
= x^2-8x-33 +2003
=x^2-8x+16b + 1954
=(x-4)^2 + 1954 >=1954
Vậy biểu thức luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến
Ta có : 9x2 - 6x + 5
= (3x)2 - 6x + 1 + 4
= (3x - 1)2 + 4
Mà : (3x - 1)2 \(\ge0\forall x\)
Nên : (3x - 1)2 + 4 \(\ge4\forall x\)
Suy ra : (3x - 1)2 + 4 \(>0\forall x\)
Vậy biểu thức sau luôn luôn dương
\(a,P=5x\left(2-x\right)-\left(x+1\right)\left(x+9\right)\)
\(=10x-5x^2-\left(x^2+x+9x+9\right)\)
\(=10x-5x^2-x^2-x-9x-9\)
\(=\left(10x-x-9x\right)+\left(-5x^2-x^2\right)-9\)
\(=-6x^2-9\)
Ta thấy: \(x^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow-6x^2\le0\forall x\)
\(\Rightarrow-6x^2-9\le-9< 0\forall x\)
hay \(P\) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến \(x\).
\(b,Q=3x^2+x\left(x-4y\right)-2x\left(6-2y\right)+12x+1\)
\(=3x^2+x^2-4xy-12x+4xy+12x+1\)
\(=\left(3x^2+x^2\right)+\left(-4xy+4xy\right)+\left(-12x+12x\right)+1\)
\(=4x^2+1\)
Ta thấy: \(x^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow4x^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow4x^2+1\ge1>0\forall x\)
hay \(Q\) luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến \(x\) và \(y\).
#\(Toru\)
Lời giải:
a. $-x^2-2x-8=-7-(x^2+2x+1)=-7-(x+1)^2$
Vì $(x+1)^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ nên
$-x^2-2x-8=-7-(x+1)^2\leq -7< 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
Vậy biểu thức luôn nhận giá trị âm với mọi $x$
b.
$-x^2-5x-11=-11+2,5^2-(x^2+5x+2,5^2)< -11+3^2-(x+2,5)^2$
$=-2-(x+2,5)^2\leq -2< 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ (đpcm)
c.
$-4x^2-4x-2=-1-(4x^2+4x+1)=-1-(2x+1)^2\leq -1< 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ (đpcm)
d.
$-9x^2+6x-7=-6-(9x^2-6x+1)=-6-(3x-1)^2\leq -6< 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ (đpcm)
\(A=-x^2+3x-7\)
\(=-\left(x^2-3x+7\right)\)
\(=-\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}+\dfrac{19}{4}\right)\)
\(=-\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{19}{4}< 0\forall x\)
\(3x-7-x^2=-\left(x^2-3x+\dfrac{9}{4}\right)-\dfrac{19}{4}=-\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{19}{4}\le-\dfrac{19}{4}< 0\)
Không biê