Question

[Minh Triều]

Tìm nghiệm nguyên x;y của phương trình: \(x^2y^2-x^2-8y^2=2xy\)

Answer 1

[Trần Thị Loan]

=> (x² - 8).y² - 2xy - x² = 0   (*)

Tính \(\Delta\)' = (-x)² - (x² - 8 ). (-x²) =  x⁴ - 7x² 

 Để x nguyên <=> \(\Delta\)' là số cính phương <=> x⁴ - 7x² = k²  ( k nguyên)

=> 4x⁴ - 28x² = 4k² => (2x² -14)² = (2k)²  + 196

=> (2x² - 14)² - (2k)² = 196

=> (2x² - 14 - 2k). (2x² - 14 + 2k) = 196 = 14.14 = (-14). (-14)  = 2. 98  = (-2). (-98)

Nhận xét: 2x² - 14 - 2k; 2x² - 14 + 2k chẵn 

+) Th1 : 2x² - 14 - 2k = - 14; 2x² - 14 + 2k = -14

=> k = 0 => x² = 0 => x = 0 . thay vào (*) => y 

Giá trị y nguyên là các giá trị thoa mãn

các trường hợp còn lại : tương tự

+) Th2:  2x² - 14 - 2k = 14; 2x² - 14 + 2k = 14:

+) Th3: 2x² - 14 - 2k = 2; 2x² - 14 + 2k = 98

+) Th4: 2x² - 14 - 2k =  - 2; 2x² - 14 + 2k = -98