Cho a,b,c>0 và abc=1. Tìm GTNN của biểu thức sau:
P=(a+1)(b+1)(c+1)
Nhanh nha mk cần gấp
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 11 2017
Cho mình hỏi, phân thức cuối cùng của câu a phải là \(\frac{1}{c+2a+b}\)chứ
KR
10 tháng 5 2018
Đường ....... sai rồi :v
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz dạng engel (full name nhé) , ta có
\(B=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{1+a+1+b+1+c}=\frac{9}{3+a+b+c}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(a=b=c=1\)
TN
28 tháng 11 2017
B1: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(P=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2-3xy\right)}+\frac{1}{xy}\)
\(=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(\left(x+y\right)^2-3xy\right)}+\frac{3}{3xy}\)
\(=\frac{1}{1-3xy}+\frac{\sqrt{3^2}}{3xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}=\left(1+\sqrt{3}\right)^2\)
NN
1
13 tháng 8 2016
Áp dụng bđt Cauchy , ta có :
\(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy Min P = 8 <=> a = b = c = 1
KN
1
21 tháng 6 2020
\(B=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Dễ có:\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\le\left(\frac{3+a+b+c}{3}\right)^3\le8\)
Khi đó \(B\ge\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1
4 tháng 2 2020
\(S=\left(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{8a}+\frac{1}{8b}+\frac{1}{8c}+\frac{1}{8a}+\frac{1}{8b}+\frac{1}{8c}\right)+\frac{3}{4a}+\frac{3}{4b}+\frac{3}{4c}\)
\(\ge9\sqrt[9]{a^2b^2c^2.\frac{1}{8a}.\frac{1}{8b}.\frac{1}{8c}.\frac{1}{8a}.\frac{1}{8b}.\frac{1}{8c}}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\ge\frac{9}{4}+9.\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{9}{4}+\frac{9}{4}.\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}}\ge\frac{9}{4}+\frac{9}{4}.2=\frac{27}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
Vậy \(Min_S=\frac{27}{4}\)
SN
4
13 tháng 5 2018
Ta có : abc = 1
<=> a = \(\frac{1}{bc}\)
\(b=\frac{1}{ac}\)
\(c=\frac{1}{ab}\)
Ta có : \(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\left(\frac{1}{bc}+abc\right)\left(\frac{1}{ac}+abc\right)\left(\frac{1}{ab}+abc\right)\)
Áp dụng bđt cô si ta có :
\(\frac{1}{bc}+abc\ge2\sqrt{\frac{abc}{bc}}=2\sqrt{a}\)
\(\frac{1}{ac}+abc\ge2\sqrt{b}\)
\(\frac{1}{ab}+abc\ge2\sqrt{c}\)
Nên : \(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\left(\frac{1}{bc}+abc\right)\left(\frac{1}{ac}+abc\right)\left(\frac{1}{ab}+abc\right)\)\(\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8.1=8\)
Vây Pmin = 8 khi a = b = c = 1
13 tháng 5 2018
Hai ô tô cùng khởi hành 1 lúc đi từ
A đến B dài 240km, vì mỗi giờ
ô tô thứ 1 đi nhanh hơn ô tô thứ 2 là 12km nên nó đến trước ô tô thứ 2 là 1h40'. Tí
nh vận tốc của mỗi ô tô?
NT
7 tháng 1 2018
Vì a;b;c > 0 nên \(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}>0\)
BĐT Cosi :
\(9a+\dfrac{1}{a}\ge2.\sqrt{9a.\dfrac{1}{a}}=2.3=6\\ 9b+\dfrac{1}{b}\ge6\\ 9c+\dfrac{1}{c}\ge6\\ \Rightarrow\left(9a+\dfrac{1}{a}\right)+\left(9b+\dfrac{1}{b}\right)+\left(9c+\dfrac{1}{c}\right)\ge18\\ \Rightarrow9\left(a+b+c\right)+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge18\\ \Rightarrow9+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge18\\ \Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/3
3 tháng 2 2018
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{1}=9\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(a+1\ge2\sqrt{a.1}=2\sqrt{a}\)
\(b+1\ge2\sqrt{b.1}=2\sqrt{b}\)
\(c+1\ge2\sqrt{c.1}=2\sqrt{c}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=1\)
\(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\) \(\ge\)\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8.\sqrt{abc}=8\)
Vậy Min P = 8 <=> a = b = c = 1
Cauchy :
\(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8.\sqrt{abc}=8\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1