Question

[Phạm Thị Như Quỳnh]

      CÁC BẠN GIẢI GIÚP MÌNH VỚI NHA. ^.^ 

Cho hình vuông ABCD cạnh có độ dài bằng a. trên cạnh BC lấy điểm H và cạnh CD lấy điểm K sao cho góc HAK = 45 độ. gọi M và N lần lượt là giao điểm của AH và AK với BD.

a, C/m tứ giác AMKD nội tiếp, từ đó suy ra KM vuông góc với AH.

b, Gọi E là giao điểm của KM, HN. C/m AE vuông góc với HK.

c, Tìm vị trí của H và K để diện tích tam giác CHK lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo a

Answer 1

[Mạnh Lê]

Mình bổ sung thêm :

\(\widehat{AKD}=67,5^o\Rightarrow\widehat{DAK}=22,5^o\)(Do \(\Delta ADK\)vuông tại D) (3)

\(\Delta AKH\)cân tại A (cmt) => AE vừa là đường cao đồng thời là đường trung trực của cạnh HK và là đường phân giác của \(\widehat{KAH}\)=> \(\widehat{EAK}=\widehat{EAH}=\frac{45^o}{2}=22,5^o\)(4)

Mặt khác CA là đường phân giác của \(\widehat{HCK}\)(Do ABCD là hình vuông) => CA là đường trung trực của cạnh HK (\(\Delta CHK\)vuông cân tại C (cmt)) . Hơn thế nữa, AE cũng là đường trung trực của cạnh HK (cmt) => A, E, C là 3 điểm thẳng hàng (5)

Từ (3), (4) và (5) => K là chân đường phân giác của \(\widehat{CAD}\)(K \(\in CD\))

cmtt : H là chân đường phân giác của \(\widehat{BAC}\)(H \(\in BC\))

Answer 2

[Mạnh Lê]

a. DB là đường chéo của hình vuông ABCD => \(\widehat{ADB}=\widehat{CDB}=\widehat{KDM}=45^o\)(t/c) 

Xét tứ giác AMKD ta có: \(\widehat{KDM}=\widehat{KAM}=\widehat{KAH}=45^o\)=> tứ giác AMKD nội tiếp (Dấu hiệu nhận biết: "đỉnh kề nhau của 1 tứ giác cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp")

=> \(\widehat{ADK}+\widehat{AMK}=180^o\)(Hệ quả)

ABCD là hình vuông => \(\widehat{ADK}=90^o\)=> \(\widehat{AMK}=90^o\)=> KM \(\perp AH\)(ĐPCM)

b. Chứng minh tương tự câu a ta có: ANHB là tứ giác nội tiếp và HN \(\perp AK\)

Xét \(\Delta AHK\)có: HN và KM lần lượt là 2 đường cao hạ từ đỉnh H và K và E là giao điểm của HN và KM (gt) => E là trực tâm của \(\Delta AHK\)(dhnb) => AE là đường cao thứ 3 của \(\Delta AHK\)=> AE \(\perp\)HK (đpcm)

c. \(S\Delta CHK=\frac{1}{2}CH.CK\)

\(S\Delta CHKmax\)<=> CH.CK max 

Do CH, CK >0 => CH.CK \(\le\frac{CH^2+CK^2}{2}\)=> CH.CK max = \(\frac{CH^2+CK^2}{2}\).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi CH = CK 

=> BH = DK (Do BC = DC (cạnh hình vuông) và CH = CK )

Xét \(\Delta ADK\)VÀ \(\Delta ABH\)có:

AD = AB (vì ABCD là hình vuông)

\(\widehat{ADK}=\widehat{ABH}\)(\(=90^o\)) 

DK = BH (cmt)

=> \(\Delta ADK=\Delta ABH\)(c.g.c) => AK = AH => \(\Delta AKH\)cân tại A (Định nghĩa) => \(\widehat{AKH}=\widehat{AHK}=\frac{180^o-45^o}{2}=67,5^o\)

Xét \(\Delta CHKcó\) CH = CK => \(\Delta CHK\)vuông cân tại C => \(\widehat{CKH}=\widehat{CHK}=45^o\)

Mặt khác: \(\widehat{AKD}+\widehat{AKH}+\widehat{CKH}=180^o\)=> \(\widehat{AKD}=67,5^o\)

Xét \(\Delta ADK\)vuông tại D có: DK = AK. cos \(\widehat{AKD}\)=> AK = a. cos \(67,5^o\)=> CK = CD - DK = a - a. cos \(67,5^o\)=CH 

=a. (1 - cos\(67,5^o\)) (1)

=> S\(\Delta CHK\)max = \(\frac{1}{2}.\frac{CH^2+CK^2}{2}\)(2)

Thay (1) vào (2) => Kết quả