Cho a2 + b2 = 1. Chứng minh (a + b)2 < 2
Mọi người giúp mình với ạ ^^
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
2
DT
Dang Tung
CTVHS
12 tháng 6 2023
Sửa đề : \(\dfrac{a^2}{a^2+b}+\dfrac{b^2}{b^2+a}\le1\\ \) (*)
\(< =>\dfrac{a^2\left(b^2+a\right)+b^2\left(a^2+b\right)}{\left(a^2+b\right)\left(b^2+a\right)}\le1\\ < =>a^2b^2+a^3+b^2a^2+b^3\le\left(a^2+b\right)\left(b^2+a\right)\) ( Nhân cả 2 vế cho `(a^{2}+b)(b^{2}+a)>0` )
\(< =>a^3+b^3+2a^2b^2\le a^2b^2+b^3+a^3+ab\\ < =>a^2b^2\le ab\\ < =>ab\le1\) ( Chia 2 vế cho `ab>0` )
Do a,b >0
Nên áp dụng BDT Cô Si :
\(2\ge a+b\ge2\sqrt{ab}< =>\sqrt{ab}\le1\\ < =>ab\le1\)
Do đó (*) luôn đúng
Vậy ta chứng minh đc bài toán
Dấu "=" xảy ra khi : \(a=b>0,a+b=2< =>a=b=1\)
LD
22 tháng 7 2023
a Sửa đề : Chứng minh \(\dfrac{a^2}{a^2+b}\)+\(\dfrac{b^2}{b^2+a}\)\(\le\) 1 ( Đề thi vào 10 Hà Nội).
Bất đẳng thức trên tương đương :
\(\dfrac{a^2+b-b}{a^2+b}\)+\(\dfrac{b^2+a-a}{b^2+a}\)\(\le\)1
\(\Leftrightarrow\) 1 - \(\dfrac{b}{a^2+b}\)+ 1 - \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)1
\(\Leftrightarrow\)1 - \(\dfrac{b}{a^2+b}\) - \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)0
\(\Leftrightarrow\)- \(\dfrac{b}{a^2+b}\)- \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)-1
\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{a}{b^2+a}\)+ \(\dfrac{b}{a^2+b}\)\(\ge\)1
Xét VT = \(\dfrac{a^2}{ab^2+a^2}\)+ \(\dfrac{b^2}{a^2b+b^2}\)\(\ge\)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab^2+a^2+a^2b+b^2}\) (Cauchy - Schwarz)
= \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(b+a\right)+a^2+b^2}\)
\(\ge\)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2ab+a^2+b^2}\)
= \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\)= 1
Vậy BĐT được chứng minh
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = 1
với x, y, z > 0.
Mn giúp em với ;-;
CM
8 tháng 2 2018
z 2 = ( a + b i ) 2 = a 2 − b 2 + 2abi
( z ) 2 = ( a - b i ) 2 = a 2 − b 2 − 2abi
z.z− = (a + bi)(a − bi) = a 2 + b 2
Từ đó suy ra các kết quả.
13 tháng 6 2023
2:
a: =>a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2<=0
=>-(a^2-2ab+b^2)<=0
=>(a-b)^2>=0(luôn đúng)
b; =>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-3a^2-3b^2-3c^2<=0
=>-(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)<=0
=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)
PT
1
CM
31 tháng 7 2019
Biến đổi vế trái ta có:
VT = (a + b)( a 2 – ab + b 2 ) + (a – b)( a 2 + ab + b 2 )
= a 3 + b 3 + a 3 – b 3 = 2 a 3 = VP
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
15 tháng 11 2021
\(1.a,\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)
\(=\left(ac\right)^2+2abcd+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2-2abcd+\left(bc\right)^2\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(b,\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)-\left(ad-bc\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow-\left(ad-bc\right)^2\le0\left(luôn-đúng\right)\)
\(dấu"='\) \(xảy\) \(ra\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
\(c2:x+y=2\Rightarrow\left(x+y\right)^2=4\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge4\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2\ge4\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge4\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2\)
\(dấu"="\) \(xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=1\)
15 tháng 11 2021
Câu 1:
a)Ta có (ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac)2+2abcd+(bd)2+(ad)2-2abcd+(bc)2
=(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2
=a2(c2+d2)+b2(c2+d2)
=(a2+b2)(c2+d2) (đpcm)
b)Ta có (ac+bd)2 = (ac)2+2abcd+(bd)2
Lại có (a2+b2)(c2+d2) = (ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2
Ta có (ac+bd)2 ≤ (a2+b2)(c2+d2)
<=>(a2+b2)(c2+d2) - (ac+bd)2 ≥ 0
<=>(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2-[(ac)2+2abcd+(bd)2]
<=>(ad)2 - 2abcd +(bc)2 ≥ 0
<=>(ad-bc)2 ≥ 0 (Luôn đúng) => đpcm
Câu 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki, ta có (x+ y)2 ≤ (x2 + y2)(12 + 12) => 4 ≤ 2.S => 2 ≤ S
Dấu ''='' xảy ra <=> x=y=1
Vậy Min S=2 <=> x=y=1
16 tháng 11 2023
EZ NUB BRO CRY :>
Ta có : (a+b)2=2(a2+b2)
⇔a2+2ab+b2=2a2+2b2
⇔2ab=a2+b2
⇔a2-2ab+b2=0
⇔(a-b)2=0
⇔a-b=0
⇔a=b (đpcm)
học lại bảng hàng đẳng thức đáng nhớ đi nhá bro :>
7 tháng 6 2021
a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=1
b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:
\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)
Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)
Áp dụng (1) vào S ta được:
\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
\(a^2+b^2=1\Rightarrow2.1=2\left(a^2+b^2\right)\)
Ta có \(\left(a+b\right)^2-2=a^2+2ab+b^2-2\left(a^2+b^2\right)\)
\(=-a^2+2ab-b^2=-\left(a^2-2ab+b^2\right)\)
.\(=-\left(a-b\right)^2\)
Vì \(-\left(a-b\right)^2\le0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2-2\le0\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le2\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b
\(a^2;b^2>=0\Rightarrow a^2+b^2>=2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)(bđt cosi)
\(\Rightarrow1>=2ab\Rightarrow2ab< =1\)
ta có:\(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2=\left(a^2+b^2\right)+2ab< =1+1=2\)