cho a, b,c dương va \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)<1
tim GTLN cua A=\(\frac{1}{a+b}\)+\(\frac{1}{b+c}\)+\(\frac{1}{c+a}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 7 2016
Ta có : \(M=\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}=\frac{abc}{a^2}+\frac{abc}{b^2}+\frac{abc}{c^2}=abc\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=8.\frac{3}{4}=6\)
Vậy M = 6
HL
1
4 tháng 3 2018
Áp dụng tính chất : xy < = (x+y)^2/4 thì :
D < = (a+b)^2/4.(a+b) + (b+c)^2/4.(b+c) + (c+a)^2/4.(c+a)
= a+b/4 + b+c/4 + c+a/4
= a+b+b+c+c+a/4
= a+b+c/2
= 1/2
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1/3
Vậy .............
Tk mk nha
19 tháng 7 2017
áp dụng BĐT cô si dạng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\frac{a+b}{4}\)
tương tự làm tiếp 2 cái còn lại rồi cộng vế theo vế . rút gọn vế phải cho 2 là ra
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 7 2020
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\ge\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
Tương tự: \(\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{2a+b+c}\ge\frac{2}{a+b+2c}\) ; \(\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{2a+b+c}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
9 tháng 8 2021
Ta có: \(2a+b^2=2a\left(a+b+c\right)+b^2=b^2+2a^2+2ab+2ac\)
\(\ge4ab+2ac+a^2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{2a+b^2}\le\frac{a}{4ab+2ac+a^2}=\frac{1}{4b+2c+a}\)
\(\le\frac{1}{49}.\frac{49}{4b+2c+a}=\frac{1}{49}.\frac{\left(4+2+1\right)^2}{4b+2c+a}\)
\(\le\frac{1}{49}\left(\frac{16}{4b}+\frac{4}{2c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{49}\left(\frac{4}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
CMTT: \(\frac{b}{2b+c^2}\le\frac{1}{49}\left(\frac{4}{c}+\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right);\frac{c}{2c+a^2}\le\frac{1}{49}\left(\frac{4}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{2a+b^2}+\frac{b}{2b+c^2}+\frac{c}{2c+a^2}\le\frac{1}{7}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( đpcm )
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 7 2020
a/ \(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
b/ \(\frac{a}{a+b^2}=\frac{a}{a\left(a+b+c\right)+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2+a\left(b+c\right)}\le\frac{a}{2ab+a\left(b+c\right)}=\frac{1}{b+b+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b^2}=\frac{1}{b+b+b+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Tương tự: \(\frac{b}{b+c^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)\) ; \(\frac{c}{c+a^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
2 tháng 7 2019
\(\sum\)\(\frac{a}{1+a^2}\)\(\le\)\(\sum\)\(\frac{a}{2a}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
\(VT=\frac{a^2}{ab+ca}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ca+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
2 tháng 7 2019
sao olm ko hiện \(\sum\) ra nhỉ ? thoi mk ghi lại v
\(\frac{a}{1+a^2}\le\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\)
tương tự 2 cái kia cộng lại t có bđt cần cm
DC
16 tháng 8 2017
Trước hết ta chứng minh:\(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) (1)
Thật vậy: bất đẳng thức tương đương với:
\(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\frac{a+b}{ab}\)
\(\Leftrightarrow4ab\le\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (Đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Tương tự: \(\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (2)
\(\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\) (3)
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) suy ra:
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Đpcm
16 tháng 8 2017
/(a+b+1)+1/(b+c+1)+1/(c+a+1) ≤ 1
<=> (a+b+1)(b+c+1) + (b+c+1)(c+a+1) + (c+a+1)(a+b+1) ≤ (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)
<=> (a+b)(b+c)+a+b+b+c+1 + (b+c)(c+a)+b+c+c+a+1 + (c+a)(a+b)+c+a+a+b+1
≤ (a+b)(b+c)(c+a) + (a+b)(b+c) + (b+c)(c+a) + (c+a)(a+b) +a+b+b+c+c+a+1
<=> 2+2(a+b+c) ≤ (a+b)(b+c)(c+a)
<=> 2+2(a+b+c) ≤ (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc
<=> 3 ≤ (a+b+c)(ab+bc+ca-2)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
(a+b+c)(ab+bc+ca-2) ≥ 3.³√(abc) .[3³√(ab.bc.ca) -2] = 3
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1
Đề phải là cho 1/a + 1/b + 1/c < = 1
Áp dụng tính chấ : 1/x+y < = 1/4.(1/x+1/y) thì :
A < = 1/4.(1/a+1/b+1/b+1/c+1/c+1/a)
= 1/2.(1/a+1/b+1/c)
< = 1/2 . 1 = 1/2
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=3
Vậy .............
Tk mk nha