Question

[pham trung thanh]

Cho \(a;b;c>0\)thỏa mãn \(a^4+b^4+c^4=3\)Tìm GTLN

\(A=\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\)

Answer 1

[Hoàng Đức Khải]

(cách này ngắn hơn nè pham trung thanh) Vì a;b;c vai trò như nhau

Giả sử \(c\le a;b\Rightarrow P\le\frac{1}{4-c^2}+\frac{1}{4-c^2}+\frac{1}{4-c^2}=\frac{3}{4-c^2}\left(1\right)\)

Vì\(c\le a;b\Rightarrow c^4\le a^4;b^4\)

Mà \(a^4+b^4+c^4=3\) 

\(\Rightarrow3\ge c^4+c^4+c^4=3c^4\)

\(\Rightarrow c^4\le1\Leftrightarrow c^2\le1\) 

\(\Rightarrow4-c^2\ge3\Rightarrow\frac{3}{4-c^2}\le1\left(2\right)\)

từ (1) và (2) \(\Rightarrow P\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Answer 2

[vũ tiền châu]

Ta có 2A=\(\frac{2}{4-ab}+\frac{2}{4-bc}+\frac{2}{4-ca}=1+1+1-\frac{2-ab}{4-ab}-\frac{2-bc}{4-bc}-\frac{2-ca}{4-ca}\)

   =3-(..)

Mà \(\frac{2-ab}{4-ab}=\frac{\left(2-ab\right)\left(2+ab\right)}{\left(2+ab\right)\left(4-ab\right)}=\frac{4-a^2b^2}{8+2ab-a^2b^2}\)

Mà \(3=a^4+b^4+c^4\ge a^4+b^4\ge2a^2b^2\Rightarrow a^2b^2\le\frac{a^4+b^4}{2}\)

Mà \(8+2ab-a^2b^2=9-\left(ab-1\right)^1\le9\)

=>\(\frac{2-ab}{4-ab}\ge\frac{4-\frac{a^4+b^4}{2}}{9}=\frac{4}{9}-\frac{a^4+b^4}{18}\)

tương tự thì ..., rồi cộng lại, ta có 

\(\frac{2-ab}{4-ab}+\frac{2-bc}{4-bc}+\frac{2-ca}{4-ca}\ge\frac{4}{3}-\frac{a^4+b^4+c^4}{9}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1\)

=>\(2A\le3-1=2\Rightarrow A\le1\)

^_^