Question

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

Tìm cặp số tự nhiên (m; n) thỏa mãn hệ thức

 m² + n² = m + n + 8

Ez lắm :)

Answer 1

[Trí Tiên亗]

:P

\(m^2+n^2=m+n+8\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m+1+4n^2-4n+1=34\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2+\left(2n-1\right)^2=34\left(1\right)\)

Mà \(\left(2m-1\right)^2\ge0;\left(2n-1\right)^2\ge0;m,n\in N\)và \(5^2+3^2=3^2+5^2=34\)

Từ (1) suy ra 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2m-1=5\\2n-1=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=3\\n=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2m-1=3\\2n-1=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=2\\n=3\end{cases}}\)

Vậy cặp số tự nhiên (m; n) thỏa mãn hệ thức \(m^2+n^2=m+n+8\)là \(\left\{\left(m=3;n=2\right);\left(m=2;n=3\right)\right\}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Hoàng]

Ta có : \(m^2+n^2=m+n+8\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m+1+4n^2-4n+1=34\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2+\left(2n-1\right)^2=34\left(1\right)\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(2m-1\right)^2\ge0\\\left(2n-1\right)^2\ge0\end{cases}}\)và m , n thuộc N 

(1) \(\Rightarrow\left(2m-1\right)^2\le34\)

\(\Rightarrow2m-1\le5\Rightarrow2m\le6\Rightarrow m\le3\)

+) Khi m = 0 thì : \(m^2+n^2=m+n+8\) \(\Leftrightarrow n^2-n-8=0\)

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4.\left(-8\right)=33\)\(\Rightarrow m\notin N\)

+) khi m= 1 thì : \(m^2+n^2=m+n+8\)\(\Leftrightarrow n^2-n-8=0\)

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4.\left(-8\right)=33\)\(\Rightarrow m\notin N\)

+) Khi m =2 thì : \(m^2+n^2=m+n+8\)\(\Leftrightarrow n^2-n-6=0\)

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4.\left(-6\right)=25>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\sqrt{25}=5\)  ; \(\hept{\begin{cases}n_1=\frac{1+5}{2}=3\left(TM\right)\\n_2=\frac{1-5}{2}=-2\left(L\right)\end{cases}}\)

+) Khi m = 3 thì : \(m^2+n^2=m+n+8\)\(\Leftrightarrow n^2-n-2=0\)

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4.\left(-2\right)=9>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\sqrt{9}=3\); \(\hept{\begin{cases}n_3=\frac{1+3}{2}=2\left(TM\right)\\n_4=\frac{1-3}{2}=-1\left(L\right)\end{cases}}\)

vậy cặp snt ( m ; n ) thỏa mãn hệ thức \(m^2+n^2=m+n+8\)là \(\left(m;n\right)=\left(2;3\right)=\left(3;2\right)\)