a,A = 101 + 100 + 99 + 98 + .....+3+2+1

khoảng cách dãy số: 101 - 100 = 1

số số hạng của dãy số: (101 - 1) : 1 + 1 = 101 

tổng A = (101+1)x101 : 2 = 5151

b, B =101 - 100 + 99 - 98 + .....+ 3-2 + 1

    B = (101 - 100) + (99- 98) +.....+ (3-2) + 1

tổng trên có số nhóm là: (101 -3) : 2 + 1 = 50

mỗi nhón có giá trị : 101 - 100 = 1

Tông B = 1 x  50 + 1 = 51

Ta có 1+5 

H 5+021 

H174

Lời giải:

$A=5+5^2+5^3+...+5^{2022}$

$5A=5^2+5^3+5^4+...+5^{2023}$

$5A-A=(5^2+5^3+...+5^{2023})-(5+5^2+5^3+...+5^{2022])$

$4A=5^{2023}-5$

Khi đó:

$4A+5=5^x$

$5^{2023}-5+5=5^x$

$5^{2023}=5^x$

$\Rightarrow x=2023$

Lời giải:

Xe chạy 44 km đầu tiên trong số giờ là:

$44:72=\frac{11}{18}$ (giờ)

Thời gian xe chạy quãng đường còn lại là:

$7-\frac{11}{18}=\frac{115}{18}$ (giờ)

Độ dài quãng đường còn lại:

$\frac{115}{18}.50=\frac{2875}{9}$ (km)

Quãng đường AB dài:

$44+\frac{2875}{9}=363,4$ (km)

`c, 146+121+54+379`

`=(146+54)+(121+379)`

`=200+500`

`=700`

`d, 35. 34+35.86+65.75+65.45`

`= (35.34+35.86) + (65.75 +65.45)`

`= (35 . 120) + ( 65 . 120)`

`=35.120+65.120`

`=120.(36+63)`

`=120.100`

`=12000`

`e, 3.25.8+4.37.6+2.38.12`

`=24.25 + 24.37+24.38`

`=24 . (25+37+38)`

`=24.100`

`=2400`

`g, 12.53+53.172-53.84`

`=53.(12+172-84)`

`=53.100`

`=5300`

c, 146+121+54+379

= (146+54)+(121+379)

= 200+500=700

d, 35.34+35.86+65.75+65.45

=35.(34+86)+65.(75+45)

=35.120+65.120

=120.(35+65)

120.100=12000

e,3.25.8+4.37.6+2.38.12

= 25.24+37.24+38.24

=24.(25+37+38)

=24.100=2400

g, 12.53+53.172-53.84

=53.(12+172-84)

= 53.100=5300

2n + 9  ⋮ n + 2

2.( n+2) + 5  ⋮ n + 2

⇔            5  ⋮ n + 2 

⇔            n + 2 ϵ Ư(5) = { -5; -1; 1; 5}

⇔            n ϵ { -7; -3; -1; 3}

vì n ϵ N nên n = 3

Ta có:

\(U\left(18\right)=\left\{1;2;3;6;9;18\right\}\\ B\left(4\right)=\left\{0;4;8;12;16;20;...;4k|k\inℕ\right\}\)

\(\Rightarrow x\in U\left(18\right)\cap B\left(4\right)=\varnothing\)

Ta có:

\(3.4^{49}< 4.4^{49}=4^{50}=\left(4^2\right)^{25}=16^{25}\left(1\right)\)

\(3^{75}=\left(3^3\right)^{25}=27^{25}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra:

\(3^{75}=27^{25}>16^{25}=4^{50}>3.4^{49}\\ \Rightarrow3^{75}>3.4^{49}\)

Đpcm

Ta có:

\(A=2+2^2+2^3+...+2^{60}\\ \Rightarrow2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{61}\\ \Rightarrow2A-A=2^{61}-2\\ \Rightarrow A=^{61}-2\)

b.

Ta có:

\(A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{57}+2^{58}+2^{59}+2^{60}\\ =2\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{57}\left(1+2+2^2+2^3\right)\\ =2.15+2^5.15+...+2^{57}.15\\ =15\left(2+2^5+...+2^{57}\right)⋮15\Rightarrow A⋮15\)

\(\left(3;5\right)=1\Rightarrow A⋮15\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}A⋮3\\A⋮5\end{matrix}\right.\left(1\right)\)

+ \(A=2+2^2+2^3+...+2^{60}\\ =2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+...+2^{58}\left(1+2+2^2\right)\\ =2.7+2^4.7+...+2^{58}.7\\= 7\left(2+2^4+...+2^{58}\right)⋮7\\ \Rightarrow A⋮7\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) suy ra điều phải chứng minh.

1. Chứng minh rằng:

a. \(1005a+2100b⋮15,\forall a,b\inℕ\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}1005⋮3\\1005⋮5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2100⋮3\\2100⋮5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}1005a⋮3\\1005a⋮5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2100b⋮3\\2100b⋮5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) 

Vì \(\left(3;5\right)=1\) suy ra:

\(\left\{{}\begin{matrix}1005a⋮15\\2100b⋮15\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1005a+2100b⋮15,\forall a,b\inℕ\)

b.

3 số tự nhiên liên tiếp có dạng:

\(a;a+1;a+2;a\inℕ\)

Tổng 3 số tự nhiên liên tiếp là: 

\(a+a+1+a+2=3a+3\\ =3\left(a+1\right)⋮3\left(đpcm\right)\)

c.

Bốn số liên tiếp có dạng:

\(a;a+1;a+2;a+3;a\inℕ\)

Tổng 4 số tự nhiên liên tiếp là:

\(a+a+1+a+2+a+3=4a+6\\ \)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a⋮4\\6⋮̸4\end{matrix}\right.\)  \(4a+6⋮̸4\)

d.

5 số chẵn liên tiếp là:

\(2k;2k+2;2k+4;2k+6;2k+8;k\inℕ\)

Tổng 5 số chẵn liên tiếp là:

\(2k+2k+2+2k+4+2k+6+2k+8\\ =10k+20\\ =10\left(k+2\right)⋮10.đpcm\)

e.

5 số lẻ liên tiếp có dạng:

\(2k+1;2k+3;2k+5;2k+7;2k+9;k\inℕ\)

Tổng 5 số lẻ liên tiếp là:

\(2k+1+2k+3+2k+5+2k+7+2k+9\\ =10k+20+5=10\left(k+2\right)+5:10.dư.5\)

2.

Một số tự nhiên chia cho 5 có số dư có thể là 1;2;3 hoặc 4

Theo bài ra ta có 4 số tự nhiên thõa mãn bài toán có dạng:

\(5k+1;5k+2;5k+3;5k+4;k\inℕ\)

Tổng bốn số tự nhiên đã cho là:

\(5k+1+5k+2+5k+3+5k+4\\ =20k+10\\ =10\left(2k+1\right)⋮5\Rightarrowđpcm\)