\(\left(x+y\right)^2+xy^2+2y^3=9y^2+8x\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy+xy^2+2y^3=9y^2+8x\)

\(\Leftrightarrow xy^2+x^2-8y^2-8x+2xy+2y^3=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(y^2+x\right)-8\left(y^2+x\right)+2y\left(y^2+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+x\right)\left(x-8+2y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2+x=0\\x+2y=8\end{matrix}\right.\)

TH1: \(y^2+x=0\Leftrightarrow x=y=0\), thỏa mãn.

TH2: \(x+2y=8\Rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;4\right);\left(2;3\right);\left(4;2\right);\left(6;1\right);\left(8;0\right)\right\}\)

Vậy pt đã cho có các cặp nghiệm tự nhiên (x; y) là:

\(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right);\left(0;4\right);\left(2;3\right);\left(4;2\right);\left(6;1\right);\left(8;0\right)\right\}\)

\(1)\)

\(a,\left\{{}\begin{matrix}2\left(x+1\right)=2x-y+4\\x+2y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+2-2x+y-4=0\\x+2y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x+2.2=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)

\(b,x^2-2x-3=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4.\left(-3\right)=4+12=16>0\)

\(\Rightarrow\) Pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

Ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2+4}{2}=3\\x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2-4}{2}=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\{3;-1\right\}\)

Bài 2:

Gọi chiều rộng mảnh vườn là: \(x\) (m); \(x\) > 0

Chiều dài mảnh vườn là: \(x\) + 6 (m)

Diện tích mảnh vườn là: (\(x+6\))\(\times\)\(x\)  = \(x^2\)+ 6\(x\) (m²)

Theo bài ra ta có phương trình: \(x^2\) + 6\(x\) = 216

                                                   \(x^2\) + 6\(x\) - 216 = 0

                                                  △' =  3² + 216 = 225 > 0

                                                   \(x\)_{1 = \(\dfrac{-3+\sqrt{225}}{1}\) = 12}

                                                              \(x\)₂ = \(\dfrac{-3-\sqrt{225}}{1}\) = -18 (loại)

Vậy \(x\) = 12 

Chiều rộng của hình chữ nhật là: 12 m

Chiều dài của mảnh vườn là: 12 + 6  = 18(m)

Kết luận: Chiều dài của mảnh vườn là 18 m

                Chiều rộng của mảnh vườn là 12 m

\(Xét:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\) ta thấy rõ ràng : \(\sqrt{x}\ge0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge1\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\) không thể : \(\ge\sqrt{x}+1\)

Do đó : \(0< \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}< 1\)

\(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\left(ĐK:x\ge0\right)\\ =\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\\ =1-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

Ta thấy :

\(1>0,\sqrt{x}+1\ge1>0\forall x\ge0\\ =>\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}>0\\ =>-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}< 0\\ =>1-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}< 1\\ =>\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}< 1\)

\(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{2x-\sqrt{x}-3}{x-9}\left(dkxd:x>0,x\ne9\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{2x-\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)-\left(2x-\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{x-3\sqrt{x}+2x+6\sqrt{x}-\sqrt{x}-3-2x+\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{x+3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)

Ta có : \(P=A+\dfrac{1}{B}=\dfrac{x+7}{\sqrt{x}}+\left(1:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\right)=\dfrac{x+7}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{x+7+\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}=\dfrac{x+\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}}\) \(=1+\left(\sqrt{x}+\dfrac{4}{\sqrt{x}}\right)\left(x>0\right)\)

Áp dụng BĐT Cosi, ta có :

\(\sqrt{x}+\dfrac{4}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{4}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{4}=4\)

Dấu '' = '' xảy ra khi \(\sqrt{x}=\dfrac{4}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x-4=0\Leftrightarrow x=4\)

Vậy \(min_P=4\) khi và chỉ khi \(x=4\)

B C D H A E I F

a/ H và E cùng nhìn AB dưới 1 góc vuông => ABHE là tứ giác nội tiếp

b/

\(\widehat{BDC}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tg vuông BHI và tg vuông BDC có

\(\widehat{DBC}\) chung => tg BHI đồng dạng với tg BDC

\(\Rightarrow\dfrac{BI}{BC}=\dfrac{BH}{BD}\Rightarrow BI.BD=BH.BC\)

c/

Xét tứ giác nội tiếp ABHE có

\(\widehat{HAE}=\widehat{CBD}\) (góc nt cùng chắn cung HE) (1)

\(\widehat{AHE}=\widehat{ABD}\) (góc nt cùng chắn cung AE) (2)

Xét (O) có

\(\widehat{CBD}=\widehat{CAD}\) (góc nt cùng chắn cung CD) (3)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\) (góc nt cùng chắn cung AD) (4)

Từ (1) và (3) \(\Rightarrow\widehat{HAE}=\widehat{CAD}\)  (5)

Từ (2) và (4) \(\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{ACD}\) (6)

Từ (5) và (6) => tg AHE đồng dạng với tg ACD (g.g.g)

d/

\(\sqrt{11+4\sqrt{6}}\)

\(=\sqrt{8+4\sqrt{2.3}+3}\)

\(=\sqrt{\left(2\sqrt{2}\right)^2+2.2\sqrt{3}.\sqrt{2}+\left(\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\left|2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right|\)

\(=2\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

A,B,C >0 ạ.

Chứng minh : `(a+b)^{3}+c^{3}-3ab(a+b+c)>0`

`<=>(a+b+c)[(a+b)^{2}-c(a+b)+c^{2}]-3ab(a+b+c)>0`

`<=>(a+b+c)(a^{2}+2ab+b^{2}-ac-bc+c^{2}-3ab)>0`

`<=>(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ac-bc-ab)>0`

`<=>(a+b+c)(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ac-2bc-2ab)>0`

`<=>(a+b+c).[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]>0`

Ta thấy :

+) `a+b+c>0` ( do `a,b,c>0` ) 

+) `(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}>=0`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c`

Mình nghĩ bạn thiếu đề là : 3 số abc đôi một khác nhau.

Vậy đã chứng minh được đề.

Em nên chèn bằng công thức nhé, chứ em viết thế này cô không hiểu đúng đề bài em cần được để trợ giúp em đâu

 Ta có \(3n^3-1011⋮1008\)

\(\Leftrightarrow\left(3n^3-3\right)-1008⋮1008\) 

\(\Leftrightarrow3\left(n^3-1\right)⋮1008\) 

\(\Leftrightarrow n^3-1⋮336\)\(⋮48\) 

\(\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)⋮48\).

Do \(n^2+n+1\) là số lẻ với mọi \(n\inℤ\) nên suy ra được \(n-1⋮48\), đpcm.

Giả sử n là số chẵn ta có: 3n³ là số chẵn ⇒ 3n³ - 1011 là số lẻ 

⇒ 3n³ - 1011 không chia hết cho 1008 vậy điều giả sử là sai 

⇒ n là số lẻ. Mặt khác ta cũng có:

3n³ - 1011 ⋮ 1008 ⇔ 3n³ - 3 -1008 ⋮ 1008 ⇔ 3n³ - 3 ⋮ 1008

⇔3(n³-1)⋮ 1008⇔ n³ - 1⋮ 336 ⇔ n³ - 1⋮ 48 ⇔(n-1)(n²+n+1)⋮48(1)

vì n là số lẻ (chứng minh trên) nên ta có: n² + n + 1 là số lẻ 

⇔ n² + n + 1 không chia hết cho 48 (2)

Kết hợp(1) và (2) ta có: n - 1 ⋮ 48 (đpcm)