\(n-2000=a^2\left(a\in N\right)\Rightarrow n=a^2+2000\left(1\right)\)

\(n-2011=b^2\left(b\in N\right)\Rightarrow n=b^2+2011\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow a^2+2000=b^2+2011\)

\(\Rightarrow a^2-b^2=11\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=11\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right);\left(a+b\right)\in U\left(11\right)=\left\{1;11\right\}\)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left\{6;5\right\}\)

\(\left(1\right)\Rightarrow n=36+2000=2036\)

Kiểm tra \(\left(2\right)\Rightarrow n=25+2011=2036\left(đúng\right)\)

Vậy \(n=2036\)

    Đây là toán nâng cao chuyên đề giải phương trình nghiệm nguyên, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

                             Giải:

Vì n - 2000 là số chính phương nên n - 2000 = k² (k \(\in\) N)

Vì n - 2011 là số chính phương nên n - 2011 = d²(d\(\in\) N); d < k

Hiệu của hai số trên là: n - 2000 - (n - 2011) = k² - d²

            n - 2000 - n + 2011 = k² - d²

           (n - n) + (2011 - 2000) = k² - d²

                0 + 11 = k²  - kd + kd - d²

                       11 = (k² - kd) + (kd - d²)

                        11 = k(k - d) + d(k -  d)

                       11 = (k - d).(k + d); Ư(11) = {1; 11} 

  Vì k; d \(\in\)  N ta có:   k - d < k + d ⇒ k - d = 1; k + d = 11

       k - d = 1 ⇒ k = 1 + d ⇒ 1  + d  + d = 11  ⇒ d + d = 11 - 1

⇒ 2d = 10 ⇒ d = 10 : 2  = 5 ⇒ n - 2011 = d² = 5² = 25

⇒ n = 2011 + 25 = 2036

Vậy n = 2036 

C = 1 + 2 + 2² + ...  + 2²⁰⁰⁸ 

C = 2⁰ + 2¹ + 2² + ... + 2²⁰⁰⁸

Xét dãy số: 0; 1; 2;...; 2008

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 1 - 0 = 1

Dãy số trên có số số hạng là: (2008 - 0) : 1 + 1 = 2009

Vì 2009 : 3 = 669 dư 2 nên nhóm ba số hạng liên tiếp của C vào nhau ta được:

C = 1+2 + (2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷) + .. +(2²⁰⁰⁶+ 2²⁰⁰⁷ + 2²⁰⁰⁸)

C = 3 + 2².(1 + 2+ 2²) + 2⁵.(1 + 2 + 2²) + .. + 2²⁰⁰⁶.(1 + 2 + 2²)

C = 3 + (1 + 2+ 2²).(2² + 2⁵ + ... + 2²⁰⁰⁶)

C = 3 + 7.(2² + 2⁵ + ... + 2²⁰⁰⁶)

7.(2² + 2⁵ + ... + 2²⁰⁰⁶) ⋮ 7; 3 : 7 dư 3 vậy 

C = 1 + 2 + 2² + ...+ 2²⁰⁰⁸ chia 7 dư 3. (đpcm)

em cảm ơn cô ạ

a; 2³.6 - (15 + 5⁸ : 5⁶)

= 8.6 - (15 + 5²)

= 48 - (15+  25)

= 48 - 40

= 8

b; 3².64 + 36.3² - 450

= 9.64 + 36.9 -  9.50

= 9.(64 + 36 - 50)

= 9.(100 - 50)

= 9.50

= 450 

(x-5)y+3x=26

=>xy-5y+3x=26

=>xy+3x-5y-15=11

=>(x-5)(y+3)=11

=>\(\left(x-5;y+3\right)\in\left\{\left(1;11\right);\left(11;1\right);\left(-1;-11\right);\left(-11;-1\right)\right\}\)

=>\(\left(x;y\right)\in\left\{\left(6;8\right);\left(16;-2\right);\left(4;-14\right);\left(-6;-4\right)\right\}\)

   Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề tìm phương trình nghiệm nguyên, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp tìm điều kiện của biến để biểu thức nguyên như sau: 

(\(x-5\))y + 3\(x\) = 26

 (\(x-5\))y = 26 - 3\(x\)

            y = \(\dfrac{26-3x}{x-5}\) (\(x\) ≠ 5)

            y \(\in\) Z ⇔ 26 - 3\(x\) ⋮ \(x\) - 5

             ⇒  11 -  3(\(x\) - 5) ⋮ \(x-5\)

                    ⇒ 11 ⋮ \(x-5\)

          \(x-5\) \(\in\) 41 ⇒ \(x-5\) \(\in\) Ư(11) = {-11; -1; 1; 1}

Lập bảng ta có:

   Theo bảng trên ta có:

Các cặp giá trị nguyên của \(x\); y thỏa mãn đề bài là:

  (\(x;y\)) = (-6; -4); (4; -14); (6; 8); (16; -2)

Vậy (\(x;y\)) = (-6; -4); (4; -14); (6; 8); (16; -2)

\(A=1+4+4^2+...+4^{2019}+4^{2020}+4^{2021}\)

\(=\left(1+4+4^2\right)+...+4^{2019}.\left(1+4+4^2\right)\)

\(=21+...+4^{2019}.21\)

\(=21.\left(1+...+4^{2019}\right)\)

Do 21 chia hết cho 21 nên A chia hết cho 21

Suy ra A chia 21 dư 0

A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4²⁰²¹

A = 4⁰ + 4 + 4² + 4³ + ... + 4²⁰²¹

Xét dãy số: 0; 1; 2; 3;...; 2021

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2 - 1 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (2021 - 0) : 1 + 1 = 2022

Vì 2022 : 3 = 674 

Vậy nhóm ba số hạng liên tiếp của A vào một nhóm khi đó ta có:

(Làm tiếp như thầy Lâm) 

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p ko chia hết cho 3

Suy ra `p^2` luôn chia 3 dư 1

Mà `2024` chia 3 dư 2

Nên `p^2+2024` chia hết cho 3

Do đó `p^2+2024` là hợp số

Giải:

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3

Vì p là số nguyên tố  nên p² là số chính phương

Vì p không chia  hết cho 3 nên p² không chia hết cho 3

⇒ p² : 3 dư 1 tính chất số chính phương, một số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 1 hoặc không dư.

Vậy p²  = 3k + 1 

⇒ p²+2024 = 3k + 1 + 2024 = 3k+(1+2024) = 3k + 2025 =3(k+675)⋮3

Vậy p² + 2024 là hợp số

Kết luận: nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p² + 2024 là hợp số

Ta có: \(3+3^2+3^3+3^4+...+3^{100}\)

\(=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{99}+3^{100}\right)\)

\(=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+...+3^{99}\left(1+3\right)\)

\(=4\left(3+3^3+...+3^{99}\right)⋮4\)

A  = 3¹ + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰

Xét dãy số: 1; 2; 3; ...; 100

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là:

            2 - 1 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (100 - 1) : 1 + 1 = 100 (số hạng)

    Vì 100 : 2 = 50 

Nhóm hai số hạng liên tiếp của A vào nhau ta được:

    A = (3¹ + 3²) + (3² + 3³) + .. + (3⁹⁹ + 3¹⁰⁰)

    A = 3.(1 + 3) + 3³(1 +3) + .. + 3⁹⁹.(1+ 3)

 A = (1+ 3).(3 + 3³ + ..+ 3⁹⁹)

A = 4.(3 + 3³ + ... + 3⁹⁹) ⋮ 4 (đpcm)

\(2x-3⋮x+2\)

=>\(2x+4-7⋮x+2\)

=>\(-7⋮x+2\)

=>\(x+2\in\left\{1;-1;7;-7\right\}\)

=>\(x\in\left\{-1;-3;5;-9\right\}\)

thanks

4ⁿ⁺¹ - 4^(n-1) + 4² = 4⁴

4^n-1.(4² - 1) = 4⁴ - 4²

4^n-1.(16 - 1) = 256 - 16

4^n-1.15 = 240

4^n-1 = 240 : 15

4^n-1 = 16

4^n-1 = 4²

 n - 1 = 2

n = 2 + 1

n = 3

Vậy n = 3 

                 Giải:

   A =  1111...1 (2022 thừa số 1)

Xét tổng các chữ số của số A là:

     1  + 1 + 1 + ... + 1  (2022 số 1)

    1 + 1 + 1 + ... + 1 = 1 x 2022 = 2022 ⋮ 3

Vậy A ⋮ 1; 3 ; A (A > 3) Vậy A là hợp số.

Hợp số