Question

[Duc Nguyen]

chứng minh rằng 

n(n+1)(2n+2) chia hết cho 2 và 3

Answer 1

[Trần Thị Thu Hoài]

NHỚ TÍCH CHO MÌNH ^^ mình cảm ơn

Chúng ta cần chứng minh rằng biểu thức $n(n+1)(2n+2)$ chia hết cho cả 2 và 3 với mọi giá trị của $n$.

1. Chứng minh chia hết cho 2:

Biểu thức cần chứng minh là $n(n+1)(2n+2)$. Ta sẽ phân tích từng phần:

• $n$ là một số nguyên. Có thể $n$ là số chẵn hoặc số lẻ.
• $n+1$ là số kế tiếp của $n$, vì vậy nếu $n$ chẵn thì $n+1$ lẻ và ngược lại, nếu $n$ lẻ thì $n+1$ sẽ chẵn.

Do đó, trong ba yếu tố $n$, $n+1$, và $2n+2$, luôn có ít nhất một yếu tố là số chẵn, vì:

• Nếu $n$ là số chẵn, thì $n$ sẽ chia hết cho 2.
• Nếu $n$ là số lẻ, thì $n+1$ là số chẵn và chia hết cho 2.
• Đồng thời, $2n+2$ luôn là số chẵn (vì $2n$ và $2$ đều chia hết cho 2).

Do đó, biểu thức $n(n+1)(2n+2)$ luôn chia hết cho 2.

2. Chứng minh chia hết cho 3:

Ta xét ba yếu tố $n$, $n+1$, và $2n+2$. Ta cần chứng minh rằng trong ba yếu tố này, ít nhất một trong số chúng chia hết cho 3.

• Nếu $n\equiv 0(\mathrm{mod}3)$, tức là $n$ chia hết cho 3, thì biểu thức $n(n+1)(2n+2)$ chia hết cho 3.
• Nếu $n\equiv 1(\mathrm{mod}3)$, tức là $n+1\equiv 2(\mathrm{mod}3)$, và $2n+2=2(n+1)\equiv 2\times 2=4\equiv 1(\mathrm{mod}3)$. Vậy không có yếu tố nào chia hết cho 3 trong trường hợp này.
• Nếu $n\equiv 2(\mathrm{mod}3)$, tức là $n+1\equiv 0(\mathrm{mod}3)$, thì $n+1$ chia hết cho 3, và vì vậy, biểu thức $n(n+1)(2n+2)$ chia hết cho 3.

Tóm lại, trong ba yếu tố $n$, $n+1$, và $2n+2$, luôn có ít nhất một yếu tố chia hết cho 3.

3. Kết luận:

Vì biểu thức $n(n+1)(2n+2)$ chia hết cho cả 2 và 3 với mọi giá trị của $n$, ta có thể kết luận rằng $n(n+1)(2n+2)$ chia hết cho 6 với mọi giá trị của $n$.