Question

[12wesaszd]

Answer 1

[Nguyễn Đức Trí]

1) \(D=-m^2+4=\left(2-m\right)\left(2+m\right)\)

\(D_x=-m\left(2m-1\right)+2\left(9-3m\right)=-2m^2-5m+18=-2\left(m-2\right)\left(m+\dfrac{9}{2}\right)\)

\(D_y=m\left(9-3m\right)-2\left(2m-1\right)=-3m^2+5m+2=-3\left(m-2\right)\left(m+\dfrac{1}{3}\right)\)

Để có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)\Leftrightarrow D\ne0\Leftrightarrow m^2\ne4\Leftrightarrow m\ne\pm2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{D_x}{D}=\dfrac{2m+9}{m+2}\\y=\dfrac{D_y}{D}=\dfrac{3m+1}{m+2}\end{matrix}\right.\)

2) Ta thấy \(x=\dfrac{2m+4+5}{m+2}=2+\dfrac{5}{m+2}\)

\(y=\dfrac{3m+6-5}{m+2}=3-\dfrac{5}{m+2}\)

\(\Rightarrow x+y=5\) là hệ thức của \(x;y\) không phụ thuộc \(m\)

Answer 2

[LÃ ĐỨC THÀNH]

Để giải bài toán, ta sẽ phân tích từng phần của hệ phương trình:

{mx−2y=2m−1(1)2x−my=9−3m(2)\begin{cases} mx - 2y = 2m - 1 \quad (1) \\ 2x - my = 9 - 3m \quad (2) \end{cases}

1. Tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó.

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của hệ phải khác 0:

∣m−22−m∣=m(−m)−(−2)(2)=−m2+4≠0\begin{vmatrix} m & -2 \\ 2 & -m \end{vmatrix} = m(-m) - (-2)(2) = -m^2 + 4 \neq 0

Giải bất phương trình:

−m2+4≠0  ⟹  m2≠4  ⟹  m≠2 vaˋ m≠−2-m^2 + 4 \neq 0 \implies m^2 \neq 4 \implies m \neq 2 \text{ và } m \neq -2

Giải hệ phương trình (1) và (2) theo $x$ và $y$:

Từ phương trình (1):

mx−2y=2m−1  ⟹  2y=mx−(2m−1)  ⟹  y=mx−2m+12(3)mx - 2y = 2m - 1 \implies 2y = mx - (2m - 1) \implies y = \frac{mx - 2m + 1}{2} \quad (3)

Thay (3) vào phương trình (2):

2x−m(mx−2m+12)=9−3m2x - m\left(\frac{mx - 2m + 1}{2}\right) = 9 - 3m

Giải phương trình này sẽ cho giá trị của $x$. Sau khi tìm được $x$, thế lại vào (3) để tìm $y$.

2. Với $(x,y)$ là nghiệm duy nhất ở trên:

a) Tìm một hệ thức liên hệ giữa $x$ và $y$ không phụ thuộc vào $m$.

Từ phương trình (1) và (2), ta có thể biểu diễn $y$ theo $x$ và ngược lại.

b) Tìm $m$ nguyên để cả $x$ và $y$ là các số nguyên.

Sử dụng giá trị của $m$ từ bước 1 và kiểm tra để $x$ và $y$ là số nguyên.

c) Tìm $m$ để biểu thức S=x2+y2S = x^2 + y^2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Biểu thức $S$ có thể được viết lại theo $m$. Tìm đạo hàm của $S$ và giải để tìm giá trị nhỏ nhất.

d) Tìm $m$ để biểu thức $T=xy$ đạt giá trị lớn nhất.

Cũng tương tự như phần (c), ta có thể biểu diễn $T$ theo $m$, sau đó tìm giá trị lớn nhất.